i
ii
iii MATEMATIKA TERAPAN UNTUK TEKNIK Abdul Azis Abdillah Ega Edistria
iv
v MATEMATIKA TERAPAN UNTUK TEKNIK
vi Hak Cipta Sanksi Pelanggaran Pasal 113 Undang-undang Nomor 28 Tahun 2014 Tentang Hak Cipta • Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah). • Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah). • Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/ a tau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/ a tau pidana denda paling banyak Rp. 1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah). • Setiap Orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah).
vii MATEMATIKA TERAPAN UNTUK TEKNIK Abdul Azis Abdillah Ega Edistria Penerbit PNJ Press Anggota APPTI No: 001.004.1.06.2018
viii MATEMATIKA TERAPAN UNTUK TEKNIK Abdul Azis Abdillah Ega Edistria Editor Nunung Martina, Devi Handaya Desain Sampul & Tata Letak Dimas Surya Perdana Penerbit PNJ Press Gedung Q, Politeknik Negeri Jakarta, Jl. G.A. Siwabessy, Kampus Baru UI, Depok Cetakan Pertama, November 2021 ISBN : 978-623-7342-69-4 Hak Cipta Dilindungi Oleh Undang-Undang Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit.
ix PRAKATA Buku ini merupakan bahan ajar tentang MATEMATIKATERAPAN UNTUK TEKNIK. Buku ini diharapkan dapat dipergunakan sebagai acuan bagi para pembaca khususnya mahasiswa, sehingga mampu menerapkan dasar-dasar matematika pada penerapannya dalam bidang teknik. Dalam penulisan buku cetakan ke 1 ini tentunya tidak luput dari kekurangan. Oleh secara terbuka, kami mengucapkan terima kasih apaibla terdapat kritik dan saran untuk kesempurnaan buku ini. Akhirnya semoga buku ini bemanfaat.
x KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan ke hadirat TuhanYangMaha Esa, karena atas rahmat, hidayah, dan ridho-Nya, akhirnya BukuMATEMATIKA TERAPAN UNTUK TEKNIK ini telah dapat diselesaikan. Pada buku ini, penulis mencoba menyajikan materi secara sistematis agar mudah untuk dipelajari dan dipahami. Selain itu, buku ini penulis lengkapi pula dengan contoh-contoh yang relevan agar pembaca mampu mempraktekkan setiap materi dengan baik. Sehingga pada akhirnya pembaca mampu belajar dengan mandiri. Penulis menyadari walaupun telah bekerja keras untuk menyusun buku ini, namun tidak mungkin menjadi lebih baik tanpa masukan pihak lain. Untuk itu penulis mengharapkan kepada semua pihak agar memberikan masukan berupa kritik atau saran demi perbaikan dan kesempurnaan buku ini. Kepada semua pihak yang telah membantu tak lupa penulis ucapkan terima kasih banyak. Semoga buku ini bermanfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya. Depok, April 2021 Abdul Azis Abdillah
xi DAFTAR ISI PRAKATA KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL TINJAUAN MATA KULIAH BAB I DASAR-DASAR ARITMATIKA BAB II ALJABAR BAB III PERSAMAAN LINIER DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB IV TRIGONOMETRI DAFTAR PUSTAKA BIOGRAFI ix x xi xii xiii xiv 1 19 37 65 73 74
xii DAFTAR GAMBAR Gambar 1 segitiga siku-siku Gambar 2 Radian Gambar 3 Sudut Elevasi Gambar 4 Sudut Depresi 66 67 70 70
xiii DAFTAR TABEL Tabel 1 Nilai Fungsi Trigonometri 67
xiv TINJAUAN MATA KULIAH Mata kuliah Matematika Terapan membahas tentang konsep dan prinsip matematika yang diperlukan pada tingkat diploma 3 program studi Teknik Alat Berat. Materi mata kuliah matematika terapan adalah sistem bilangan real, aljabar, persamaan linier, persamaan kuadrat, trigonometri serta luas dan volume. Semua materi ini akan digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Kemampuan akhir dari setiap bab antara lain: Mahasiswa mampu menjelaskan konsep bilangan real untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Mahasiswa dapat menerapkan konsep aljabar dalam pemodelan untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Mahasiswa dapat menerapkan persamaan linier dalam pemodelan untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Mahasiswa dapat menerapkan konsep grafik fungsi dan persamaan kuadrat untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Mahasiswa dapat menerapkan konsep Trigonometri untuk menyelesaikan persoalan terkait dengan bidang Alat Berat. Mahasiswa dapat menerapkan konsep luas dan volume untuk menyelesaikan persoalan yang terkait dengan bidang Alat Berat. Diharapkan pada akhir perkuliahan mahasiswa mampu menerapkan konsep dan prinsip matematika untuk menyelesaikan permasalahan terkait dengan bidang Alat Berat.
xv
xvi
1 BAB I DASAR-DASAR ARITMATIKA Setelah mempelajari materi dasar-dasar aritmatika diharapkan mahasiswa dapat memahami dan mampu mengaplikasikan materi pada bidang teknik mesin. Beberapa indikator pemahaman yang diharapakan antara lain mahasiswa dapat 1) menjelaskan konsep aritmatika; 2) menjelaskan karakterisitik bilangan; 3) menyelesaikan permasalahan real terkait aritmatika 1.1 Bilangan Bilangan merupakan salah satu konsep matematika yang sangat sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan didefinisikan sebagai ungkapan dari penulisan satu atau lebih simbol bilangan/angka. Contoh : 234 terdiri dari angka 2, 3 dan 4. Berikut merupakan jenis-jenis bilangan: a) Bilangan Asli, Contoh: 1, 2, 3, …. b) Bilangan Cacah, Contoh 0, 1, 2, 3, …. c) Bilangan Bulat, Contoh… , -2, -1, 0, 1, 2, ….
2 d) Bilangan Rasional adalah bilangan yang berbentuk dengan dan bilangan bulat serta 0. Contoh : 5, 1 3 , 7 4 , −3,. e) Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai atau bilangan yang bukan rasional. Contoh : , √2, √3,. f) Bilangan Real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan Rasional dan Irrasional. g) Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk + dengan , bilangan real dan adalah bilangan imajiner ( 2 = −1). 1.2 Operasi Bilangan Bulat Beberapa operasi yang ada pada bilangan antara lain adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian. Terdapat dua sifat yang berlaku dalam penjumlahan yaitu komutatif dan asosiatif： Sifat komutatif penjumlahan yaitu + = + , Contoh: 5 + 3 = 3 + 5 = 8 Sifat Asosiatif penjumlahan yaitu + + = + ( + ) = ( + ) + , Contoh: 3 + 4 + 1 = 3 + (4 + 1) = (3 + 4) + 1 = 8
3 Sifat komutatif dan asosiatif yang berlaku dalam penjumlahan juga berlaku pada perkalian. Sifat Komutatif perkalian yaitu = , Contoh: 4 5 = 5 4 = 20 . Sedangkan sifat Assosiatifnya adalah ( ) = ( ), Contoh : (3 4) 6 = 3 (4 6) = 72. Kombinasi antara penjumlahan dan perkalian menhasilkan sifat Distributif: ( + ) = + , Contoh : 4 (5 + 6) = 20 + 24 = 44 1.3 Operasi Bilangan Pecahan Nilai 9 dari 14 dalam ujian dapat ditulis sebagai: 9 10 atau 9/10. 9/10 merupakan contoh pecahan. Angka di atas garis, yaitu 9, disebut pembilang. Angka di bawah garis, yaitu 10, disebut penyebut. Bila nilai pembilangnya lebih kecil dari nilai penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa. 9 10 merupakan contoh pecahan biasa. Bila nilai pembilangnya lebih besar dari nilai penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa. 3/2 merupakan contoh pecahan biasa. Bilangan campuran adalah gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. 2 1 3 merupakan contoh bilangan campuran. Faktanya, 2 1 3 = 7 3
4 Berikut merupakan contoh penjumlahan pecahan Contoh : 1. 1 5 + 1 7 = 1 7 + 1 5 = 5 + 7 35 = 12 35 2. 1 2 + 1 3 + 1 4 = 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) = 6 + 4 + 3 12 = 13 12 Berikut merupakan contoh pengurangan bilangan pecahan： Contoh : 3. 1 2 − 1 5 = 5 - 2 10 = 7 10 4. 7 8 − 1 12 − 2 3 = 21 - 2 -16 24 = 21−18 24 = 3 24 Berikut merupakan contoh penyelesaian perkalian bilangan pecahan： Contoh : 5. 1 3 x 1 5 = 1 5 x 1 3 = 1 15 6. 3 4 x 2 5 = 2 5 x 3 4 = 6 20 7. 1 2 x 1 3 x 1 5 = 1 2 x ( 1 3 x 1 5 ) = 1 30 Berikut merupakan sifat yang berlaku dalam pembagian bilangan pecahan Contoh : 8. 1 2 : 1 3 = 1 2 x 3 1 = 3 2
5 Latihan Selesaikanlah operasi aritmatika berikut ini. a. + 4 + 5 = b. 12 + + 6 = c. 2 . 8 = d. (2 + 4 ) (2 – 4 ) = e. 3 + 5 + 10 = f. 7 4 s - 1 2 s + 2 8 s = g. 1 3 p . 1 6 qr . 1 9 stv = h. 5a 3 : 4z 5 = i. 9 – 2 – 4 = j. 25 + (−13 ) + (9 ) – (7 ) = k. 1 . . 2 . . 3 . = l. 2 . 7 m. 4 pq 2 xz = n. (3 – 2 ) (3 + 2 ) = o. 6 (4 – 2 + 3 ) = p. 3 + 2 + 4 = q. 7 3 x - 2 6 x − 1 9 x = r. 6 4 y - 1 3 y + 1 6 y = s. 1 2 ab . 1 3 c . 1 5 d = t. 3a 4 ∶ 2a 3 =
6 1.4 Bilangan Berpangkat 1.4.1 Definisi Bilangan Berpangkat 2 × 2 × 2 merupakan perkalian berulang, 2 × 2 × 2 dapat ditulis secara sederhana menjadi dengan 23 dibaca “dua pangkat tiga” 23 dapat diartikan sebagai: 2 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar 3 disebut bilangan pangkat atau eksponennya Secara umum, jika bilangan real dengan merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku : = × × …× dengan sebanyak faktor/pengali denganp adalah bilangan pokok dan bilangan pangkat. 1.4.2 Sifat-sifat bilangan berpangkat Setelah kita memahami tentang pengertian bilangan berpangkat, berikut ini kita berikan sifat-sifat bilangan berpangkat : Jika dan anggota bilangan real tidak nol dengan , , dan merupakan bilangan bulat maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1. p q q p a a a + = 2. p q p q a a a − = : 3. ( ) p q p q a a = 4. ( ) n n n a b a b =
7 5. n n n b a b a = 6. n n a a − = 1 7. n n n a b b a = − 8. 1 0 = a Ada beberapa hal yang dapat kita lakukan untuk menyederhanakan bilangan berpangkat menggunakan sifat-sifat yang ada pada bilangan berpangkat: Contoh : Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut ini 1. ( 2 4 )5 × 12 = 2×5 4×5 × 12 = 10× 12 20 = 10 20−12 = 10 8 2. 642 × (4)−3 × 1 32 = (26)2 × (22)−3 × 1 25 = 26×2 × 22×(−3) × 2−5 = 212 × 2−6 × 2−5 = 212−6−5 = 212−11
8 = 2 3. 8 2 3 = √82 3 = 22 = 4 4. 25 1 2 = √251 2 = 5 Latihan Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan akar di bawah ini. 1) 5√ + √ 2) 8√ + 3√ – 10√ 3) 2√ + 4√ 4) 3√ – 2√ – √ + 7√ 5) 5√ – 2√ 6) 5√ – 2√ – 9√ + 7√ 7) 5√ – √ 8) 5√ + 4√ – 2√ – 6√ Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan akar di bawah ini 9. 4√ + 3√ 10. 3√ + 4√ – 5√ 11. 5√ – 10√ 12. 5√ – 4√ – 2√ + 5√ 13. √ + 5√ 14. 2√ – √ + 4√ + 5√
9 Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini 15. √ ( √ + 2√ ) 16. √ x √ x √ x √ 17. √ ( √ – 2√ ) 18. √ x √ x √ x √ 19. √ ( √ – √ ) 20. ( √ + √ )(√ – √ ) 21. √ ( √ + √ ) 22. ( √ + √ )(3√ – 2√ ) 23. ( √ – √ )2 24. (√ – 2√ )(√ + 2√ ) 25. ( √ + √ )2 26. (2√ + 5√ )(2√ – 5√ ) 27. (2√ – 5√ )2 28. (3√ + 2√ )(3√ – 2√ ) Nyatakanlah dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini. 29. √ 18 − 6√5 30. √32 + 5√28 31. √ 3 + √13 + 4√3
10 1.4.3 Operasi bilangan dibawah akar Berikut merupakan beberapa contoh operasi pada bilangan berbentuk akar. 1. √12 = √4 × 3 = √4 × √3 = 2 × √3 = 2√3 Lakukan penjabaran pada angka 12, kemudian faktorkan menjadi dua bilangan yang salah satunya dapat ditarik nilai akarnya (yaitu angka 4 dan 3) 2. √18 √32 = √9×2 √16×2 = √9×√2 √16×√2 = 3×√2 4×√2 = 3 4 3. √5×√45 √20 = √5×√9×5 √4×5 = √5×3√5 2√5 = 3×5 2√5 = 15 2√5 4. 3√5 + 4√5 = (3 + 4)√5= 7√5 5. √48 − 2√3 + √108 = √16 × 3 − 2√3 + √36 × 3 = 4√3 − 2√3 + 6√3 = (4 − 2 + 6)√3 = 8√3 6. √5 + √80 − 3√20 = √5 + √16 × 5 − 3√4 × 5 = √5 + 4√5 − 3.2√5 = √5 + 4√5 − 6√5 = (1 + 4 − 6)√5 = −√5 Berikut merupakan rumus-rumus umum yang berlaku pada operasi perkalian bilangan bentuk akar: 1. P√ x q√ = pq√ 2. p√ ( q√ r√ ) = pq√ pr√
11 3. (√ + √ )(√ + √ ) = √ + √ + √ + √ 4. (√ +√ )2 = (a + b) + 2√ 5. (√ +√ ) = √( + ) + 2√ 6. (√ – √ )2 = (a + b ) – 2√ 7. (√ – √ ) = √( + ) − 2√ , dengan a > b Berikut merupakan beberapa contoh penggunaan rumus-rumus diatas: 1. √ x √ = √ = √ 2. 2√ x 3√ = (2 x 3)√ = 6√ 3. 5√ (√ + √ ) = 10 + 5√ 4. 3√ (4√ – 2√ ) = 12√ – 6√ 5. 2√ x 5√ x 4√ = ( 2 x 5 x 4 x 3 )√ = 120√ 6. (√ +√ )(√ + √ ) = √ +√ +√ + √ 7. (√ + √ )2 = ( 5 + 2 ) + 2√ = 7 + 2√ 8. (√ – √ )2 = ( 3 + 2 ) – 2 √ = 5 – 2√ Salah satu hal yang terpenting dalam operasi bilangan akar adalah merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar yaitu menggunakan bentuk sekawan. Berikut merupakan rumus umum yang biasa digunakan: • √ = √ ×√ √ • +√ = +√ × −√ −√ Bentuk-bentuk Sekawan dari bilangan akar adalah:
12 • a b + adalah sekawan dari b a− • a b − adalah sekawan dari b a + • a b + adalah sekawan dari b a − • a b − adalah sekawan dari b a + Contoh : 1. √ = √ x √ √ = √ = 2√ 2. √ = √ x √ √ = √ = √ 3. √5 √3 = √5 √3 x √3 √3 = √5 √3 3 = 1 3 √15 4. +√ = +√ x −√ −√ = ( −√ ) − = ( −√ ) = ( −√ ) 5. − √ = − √ x + √ + √ = ( + √ ) − ( ) = ( + √ ) − = ( + √ ) = 6 + 3√ 6. √ √ − = √ √ − x √ + √ +
13 = √ ( √ + ) − = √ + √ = √ + √ 7. √ +√ = √ +√ x √ −√ √ −√ = (√ −√ ) − = − (√ − √ ) = √ − √ 8. √ √ − √ = √ √ − √ x √ + √ √ + √ = √ (√ + √ ) − = √ + √ − = − √ − √
14 Latihan Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini 1. √ 2. √ √ 3. −√ 4. √ 5. √ √ 6. + √ 7. √ 8. √ √ 9. √ √ −√ 10. √ 11. √ √ 12. √ √ +√ 13. √ √ 14. √ √ 15. √ √ − √
15 Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini 16. √ −√ √ +√ 17. + √ +√ 18. √ + √ 19. √ +√ √ −√ 20. √ −√ √ −√ 21. −√ − √ Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini 22. +√ −√ 23. √ + √ −
16 SOAL PEMECAHAN MASALAH 1. Lubang dibor dengan jarak 35,7 mm di pelat logam. Jika deretan 26 lubang dibor, tentukan jarak, dalam sentimeter, antara pusat lubang pertama dan terakhir. 2. Sebuah sekrup memiliki massa 15 gram. Hitung, dalam kilogram, massa 1200 sekrup tersebut (1kg = 1000g). 3. Sebuah tangki berisi 1800 liter minyak. Berapa kaleng berisi 0,75 liter yang dapat diisi dari tangki ini? 4. Seorang anak tidur rata-rata 9 jam 25 menit per hari. Nyatakan ini sebagai persentase sepanjang hari, benar hingga 1 tempat desimal. 5. Nyatakan 408g sebagai persentase 2,40kg. 6. Saat menandatangani kontrak baru, gaji pemain sepak bola Liga Utama meningkat dari £15.500 menjadi £21.500 per minggu. Hitung persentase kenaikan gaji, benar sampai 3 angka penting. 7. Sebuah batang logam panjangnya 1,80m dipanaskan dan panjangnya memuai sebesar 48,6mm. Hitung persentase pertambahan panjangnya. 8. 12,5% dari panjang kayu adalah 70cm. Berapa panjang asli kayu tersebut? 9. Sebuah batang logam, panjangnya 1,20m, dipanaskan dan panjangnya memuai 42mm. Hitung persentase pertambahan panjangnya. 10. Dua kilogram senyawa mengandung 30% unsur A, 45% unsur B, dan 25% unsur C. Tentukan massa ketiga unsur yang ada.
17 11. Campuran beton mengandung tujuh bagian volume pemberat, empat bagian volume pasir dan dua bagian volume semen. Tentukan persentase masing-masing dari ketiga konstituen ini dengan tepat hingga 1% terdekat dan massa semen dalam campuran kering dua ton, benar hingga 1 angka penting. 12. Dalam sampel bijih besi, 18% adalah besi. Berapa banyak bijih yang dibutuhkan untuk menghasilkan 3600 kg besi? 13. Dimensi sekrup adalah 12,5 ± 8% mm. Hitung panjang sekrup maksimum dan minimum yang mungkin. 14. Daya keluaran mesin adalah 450kW. Jika efisiensi mesin adalah 75%, tentukan input daya. 15. Dalam surat wasiat, £6440 akan dibagi di antara tiga penerima dengan perbandingan 4:2: 1. Hitung jumlah yang diterima masing-masing. 16. Sebuah peta lokal memiliki skala 1:22500. Jarak antara dua jalan raya adalah 2,7 km. Berapa jarak keduanya pada peta? 17. Hadiah uang dalam lotre total £3801 dan dibagi di antara tiga pemenang dengan perbandingan 4:2:1. Berapa hadiah yang diterima pemenang pertama? 18. Balok kayu yang panjangnya 4m beratnya 84kg. Tentukan massa balok sejenis yang panjangnya 60cm. 19. Suatu paduan terdiri dari logam P dan Q dengan perbandingan massa 3,25:1. Berapa banyak P yang harus ditambahkan ke 4,4 kg Q untuk membuat paduan?
18 20. 15000 kg campuran pasir dan kerikil adalah pasir 20%. Tentukan jumlah pasir yang harus ditambahkan untuk menghasilkan campuran dengan 30% kerikil.
19 BAB II ALJABAR Setelah mempelajari materi Aljabar diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep-konsep Aljabar dan mengimplementasikannya pada bidang teknik mesin dan kehidupan sehari-hari. Beberapa indicator pemahaman yang diharapkan pada pembelajaran ini antara lain: 1. Menjelaskan pengertian Aljabar 2. Menyelesaikan Operasi pada Aljabar 3. Menyelesaikan permasalahan real terkait aljabar 2.1.Pengertian Bentuk Aljabar Berikut ini adalah beberapa hal dasar yang perlu diketuhui dalam aljabar. a. Berikut merupakan beberapa contoh bentuk-bentuk aljabar , 2 , + 3 , 3 + 5 , dan 2 + + 3 b. Persamaan berikut 2 + + = 0 ; memiliki lambanglambang aljabar , , , dan 0; dengan dan disebut koefisien ; disebut konstanta; 2 dan disebut variabel c. 2 2 ; 2 disebut koefisien dan 2 disebut variabel 5 ; 5 disebut koefisien dan disebut variabel d. 2 dan 3 merupakan dua suku sejenis, sedangkan 5 2 dan 7 merupakan dua suku tidak sejenis. Unsur-unsur suku sejenis dapat dikumpulkan menjadi satu dan dioperasikan.
20 2.2. Operasi Aljabar Berikut merupakan rumus umum yang diguanakan dalam penjumlahan aljabar. + = ( + ) + + + = ( + ) + ( + ) contoh: 1. 7x + 3x = (7+3)x = 10x 2. -2 x2 - 3 x2= (-2-3) x2 = -5 x2 3. 2 x2 -3 + x2 - 4 = (2+1) x2 + (-3-4) = 3 x2 – 7 4. 4b + 5b = (4+5) b= 9b 5. 3 (2p + 3q) = 6p+ 9q 6. 2 x2 - 4x - x2 + 2x = 2 x2 - x2 - 4x + 2x = x2(2-1) + x(-4+2) = x2 + x(-2) = x2 - 2x Berikut merupakan rumus umum yang diguanakan dalam pengurangan aljabar. − = ( − ) − − − = ( − ) − ( + ) contoh : 1. 7 – 3 = (7 − 3) = 4 2. 5 – 8 – 2 – 1 = (5 − 2) – (8 + 1) = 3 – 9
21 Berikut merupakan rumus umum yang diguanakan dalam perkalian dan penjumlahan (distribusi) aljabar. 1. ( + ) = + 2. ( + ) = 2 + 3. ( + ) = + 2 4. ( + )( + ) = 2 + + + 5. ( + )2 = 2 + 2 + 2 atau ( – )2 = 2 – 2 + 2 6. ( + ) ( – ) = 2 – 2 contoh : 1. 5 (2 + 4 ) = 10 + 20 2. −3(3 − 2 ) = −9 + 6 3. 3x(2x+3y) = 6 x2 + 6xy 4. (3x+y) (x-2y) = 3 x . x + (3x . -2y) + y. x + (y . -2y) = 3 x2+ (-6xy)+xy+(-2 y2 ) = 3 x2 - 2 y 2 - 5xy 5. (2a + 3b)2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (4b)2 = 9a2 + 24ab + 16b2. 6. (3m – 4n)2 = (3m)2 – 2(3m)(4n) + (4n)2 = 9m2 – 24mn + 16n2 7. (2x + 5y) (2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2. 8. (xy + 3z) (xy – 3z) = (xy)2 – (3z)2 = x2y2 – 9z2. 9. (2x + 3y) (2x – 3y) = (2x)2 – (3y)2
22 = 4x2 – 9y2 10. (xy + 5z) (xy – 5z) = (xy)2 – (5z)2 = x2y2 – 25z2 Berikut merupakan rumus umum yang digunakan dalam pembagian aljabar. Konsep pembagian aljabar akan lebih mudah diselesaikan jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Contoh : 1. 15 : 3 = 15 3 = 5 2. 18 ∶ 2 = 18 2 = 9 3. 24 2 ∶ 4 = 24 × × × 4 × × = 6 4. (8x2 + 2x): (2y2 – 2y) = (8x2 + 2x) (2y2 – 2y) = 2(4x2 + x) 2(y2 – y) = (4x2 + x) (y2 – y) Untuk menguraikan bentuk aljabar bentuk aljabar dengan pangkat besar seperti (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kita dapat menggunakan pola segitiga Pascal. Pola segitiga pascal dan hubungannya dengan perpangkatan aljabar dapat dilihat dibawah ini.
23 Sebelumnya, telah diketahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Terlihat bahwa, semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Namun sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan lainnya dapat dituliskan sebagai berikut. (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 dan seterusnya. Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Contoh a. (x + 5)2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25 b. (2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + 33 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 c. (x – 2)4 = x4 – 4 (x)3(2) + 6(x)2(2)2 – 4(x)(2)3 + 24 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16
24 d. (3x – 4)3 = (3x)3 – 3(3x)2 (4) + 3(3x)(4)2 – (4)3 = 27x3 – 108x2 + 144x – 64
25 Latihan 1. Selesaikan bentuk-bentuk Aljabar berikut ini. a. 3x + x b. 4p – 10y + 12y c. 16a2 + 3z + 11a2 d. (x + 2) (x + 4) e. (2p + 5) (2p – 5) f. (4 + 2m) (m – 8) g. 7p2q : pq h. 2ab2 : 8a2b i. (8xy2 + 2xy) : 4y j. (3m2 – 3n2) (m2 – n2) k. (24ab + 6b) : (12ab2 – 6a) l. (x + y) (m + n) m. (a + b) (c – d) n. (a – b) (2a – b) o. (a – b) (x + y) p. (a + 2b) (a + 2b) q. (x + y)2 r. (3a + b)2 s. (2x – 3y)2 t. (3a + 2b) (3a – 2b) u. (x2 + 1) (x2 – 1) v. (3 – y) (3 + y2) w. (21 + 10) (21 – 10) x. (a + 2b) (a + 2b)
26 y. (a + b)2 2. Sederhanakan bentuk-bentuk Aljabar berikut ini. a. (2x + y)2 b. (2a – 3b)2 c. (3a – 2b)2 d. (x + y) (x – y) e. (a – 2b) (a + 2b) f. (a2 – 1) (a2 + 1) g. (3 – y2) (3 + y2) h. (5 + 3t) (5 – 3t) i. (3r + s) (3r – s) j. (2a + 5) (2a – 5) k. (30 + 2) (30 – 2) l. (50 + 1) (50 – 1) 3. Tentukan hasil penjumlahan berikut. a. x + 4 dan 4 + x b. x + y – z dan 2x – y + 3z c. 5 – 2(a + 2b) dan 1a + 4b – 2 4. Tentukan hasil pengurangan berikut. a. a(3a + 5) dari 10p – 7 b. 7p – 10 dari 2 – 10m + 15mn c. 5x(8y – 9z) dari 8y(5x – 9z)
27 5. Diketahui = 3 – 12 dan = 2 + Tentukan: a. M + N b. M – 2N c. 3M + 4N 6. Diketahui sebuah lempengan besi berbentuk segitiga dengan alas memiliki panjang (3x + 5) cm dan tinggi (2x – 3) cm, tentukan luas segitiga tersebut ! 2.3. Faktorisasi Aljabar Pemfaktoran merupakan proses penyederhanaan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.. faktor dari bentuk aljabar terbentuk dari suatu bentuk aljabar yang dapat membagi habis bentuk aljabar yang lain. Setiap bentuk aljabar memiliki setidaknya dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Perhatikan contoh berikut ini. + = ( + ) dimana p adalah salah satu faktor dan + adalah faktor lainnya. Contoh: Tentukan faktor dari 3a2b + 24ab. Jawab: Faktor persekutuan dari konstanta 3 dan 24 adalah 3. Faktor persekutuan dari a2b dan ab adalah ab. Sehingga,
28 3a2b + 24ab = 3ab(a2 + 8). Contoh: Faktorkanlah bentuk berikut ini a2 + 3a + 2 Jawab : a2 + 3a + 2 = (a+ ...) (a + ...). misalkan, a2 + 3a + 2 = pa2 + qa + r , diperoleh nilai a = 1, b = 3, dan c = 2. Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 2 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya harus sama dengan . Faktor dari 2 adalah 1 atau 2, dan karena 1 + 2 = 3. Jadi, a2 + 3a + 2 = (a + 1) (a + 2). Contoh Faktorkan bentuk berikut 3a2b + 2b + 3ab2 + 2a. Jawab: Kelompokkan 3a2b + 2b + 3ab2 + 2a = (3a2b + 2a) + (3ab2 + 2b) Kemudian faktorkan setiap kelompok menjadi (3a2b + 2a) + (3ab2 + 2b) = a(3ab + 2) + b(3ab + 2) = (a + b) (3ab + 2). Jadi, faktor dari (3a2b + 2a) + (3ab2 + 2b) = (a + b) (3ab + 2).
29 Contoh kasus penyelesaian masalah Luas lapangan berbentuk persegi panjang adalah 4.320 m2. Jika panjang lapangan itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar lapangan tersebut? Jawab : Misalnya panjang lapangan x meter dan lebar 4 meter maka y = ( x – 12) meter Luas lapangan = x . y 4.320 = x . y <=> 4.320 = x . (x-12) <=> x2 – 12x – 4320 = 0 <=> (x- 72) (x + 60) = 0 <=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0 <=> x = 72 atau x = - 60 karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72. Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60 Jadi, panjang lapangan adalah 72 meter dan lebar lapangan adalah 60 meter.
30 Latihan 1. Tentukan faktor dari bentuk aljabar berikut ini. a. at + bt – ct b. 3m3 + 6m2 + m c. 3s4 – 5s9 + 6s2 d. abc + a2b2 c+ a3b3c e. 22xy + 23x2y + 24x3 f. 4x2yz + 16xy – 12z g. a4b3c2 + a2b4c3 + a2b3c4 h. 2 + 6 i. 2 − 8 + 15 j. 2 2 + 3 + 1 k. 2 + 5 + 6 = 0 l. 3 + 8 m. 8 3 − 27 3 n. 54 3 + 128 3 o. 192 3 − 648 3 2. Sebuah plat besi berbentuk persegi panjang memiliki ukuran 3 m dan 4 m. Jika plat tersebut di potong a cm pada panjangnya dan di potong b cm pada lebarnya, tentukan luas persegi panjang tersebut dalam bentuk a dan b.
31 2.4. Pecahan Bentuk Aljabar Pecahan adalah bentuk lain dari pembagian. Jika pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut adalah bentuk aljabar maka pecahan tersebut disebut pecahan aljabar. Contoh pecahan aljabar: 3 , +1 , 2+2 −1 2 Contoh: 1. Sederhanakan bentuk berikut 2− 4 2−2 −8 . Jawab: Faktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. 2− 4 2−2 −8 = ( −2)( +2) ( −4)( +2) . Selanjutnya lakukang pembagian pada pembilang dan penyebut yang sama. ( −2)( +2) ( −4)( +2) = ( −2) ( −4) 2. Sederhanakan bentuk berikut 5 4 3 30 5 . Jawab: 5 4 3 30 5 = 5 × × × × × × × 2 × 3 × 5 × × × × × × = 3. Hitunglah 5 2 × 4 5
32 Jawab: 5 2 × 4 5 = (5 )(4) (2 )(5 ) = 20 10 4. Hitunglah 2 3 ÷ 5 4 . Jawab: 2 3 ÷ 5 4 = 2 3 × 4 5 = (2 )(4 ) (3 )(5 ) = 8 15 5. Hitung 3 2 5 25 4 3 ÷ 6 3 35 2 5 . Jawab: 3 2 5 25 4 3 ÷ 6 3 35 2 5 = 3 2 5 25 4 3 × 35 2 5 6 3 = 3 ×5×7 × 2× 5× 2× 5 2×3×5×5× 3× × 4× 3 = 7 2 4 2 2
33 Latihan Sederhanakanlah. 1. 15 2 2 45 5 2. 17 4 3 51 5 3. 3 2−12 4 −8 4. − 2− 2 5. 4 3−8 2+12 4 6. 4 2−9 2 2 5+ −6 2 7. 2 2+ −6 2+ −2 8. 15 2 2 45 5 9. 2 2− −15 2 6 2+17 −5 2
34 Sederhanakan pecahan berikut. 10. 2 5 ∙ 4 3 11. 5 7 ∙ 8 9 12. 2 2 3 ∙ 4 2 3 5 13. 4 −8 5 −20 ∙ 15 −60 27 −54 14. 8 −12 10 −15 ∙ 12 −18 24 −36 15. 2+5 +4 2 3 ∙ 4 7 2+2 +1 Soal Pemecahan Masalah 1. Sebuah kotak berbentuk persegi panjang dengan ujung persegi memiliki panjang 15 cm lebih besar dari lebarnya dan panjang seluruh rusuknya adalah 2,04 m. Hitunglah lebar kotak dan volumenya 2. Koefisien suhu resistansi dapat dihitung dari rumus Rt = R0(1+αt ). Cari , diketahui Rt = 0,928, R0 = 0,80 dan t = 40 3. Jarak s meter yang ditempuh dalam waktu t detik diberikan oleh rumus s = ut + 1/2 at^2, di mana u adalah kecepatan awal dalam m/s dan a adalah percepatan dalam m/s^2. Tentukan percepatan
35 benda jika menempuh jarak 168m dalam waktu 6s, dengan kecepatan awal 10m/s 4. Gaya F newton diberikan oleh F = ma, di mana m adalah massa dalam kilogram dan a adalah percepatan dalam meter per detik kuadrat. Tentukan percepatan ketika gaya 4 kN diterapkan pada massa 500kg. 5. PV = mRT adalah persamaan karakteristik gas. Tentukan nilai m ketika P = 100×103,V = 3,00, R = 288 dan T = 300. 6. Enam baterai kamera digital dan 3 baterai camcorder berharga £96. Jika baterai camcorder berharga £5 lebih mahal daripada baterai kamera digital, tentukan harga masing-masingnya. 7. Hukum Ohm dapat diwakili oleh I = V/R, di mana I adalah arus dalam ampere, V adalah tegangan dalam volt dan R adalah hambatan dalam ohm. Besi solder membutuhkan arus 0,30A dari suplai 240V. Cari hambatan elemen tersebut. 8. Jarak, s, yang ditempuh dalam waktu t detik diberikan oleh rumus s = ut + 1/2 a t^2 di mana u adalah kecepatan awal dalam m/s dan a adalah percepatan dalam m/s2. Hitung percepatan tubuh jika bergerak 165 menit 3 s, dengan kecepatan awal 10 m/s. 9. Perpanjangan x m dari sebuah batang pengikat aluminium dengan panjang l m dan luas penampang Am2 ketika memikul beban F Newton diberikan oleh modulus elastisitas E = Fl/Ax. Carilah perpanjangan batang pengikat (dalam mm) jika E = 70×109 N/m2, F = 20×106 N, A = 0,1m2 dan l = 1,4m
36 10. Seorang pelukis dibayar £6,30 per jam untuk dasar 36 jam seminggu dan lembur dibayar satu dan sepertiga kali dari tarif ini. Tentukan berapa jam pelukis harus bekerja dalam seminggu untuk mendapatkan £319,20 11. 12 pekerja yang dipekerjakan di lokasi pembangunan memperoleh total £4035 per minggu di antara mereka. Buruh dibayar £275 per minggu dan pengrajin dibayar £380 per minggu. Berapa banyak pengrajin dan berapa banyak buruh yang dipekerjakan? 12. Sebuah persegi panjang memiliki panjang 20cm dan lebar bcm. Jika lebarnya dikurangi 4cm, luasnya menjadi 160cm2. Temukan lebar asli dan luas persegi panjang. 13. Sebuah paduan mengandung 60% berat tembaga, sisanya adalah seng. Berapa banyak tembaga yang harus dicampur dengan 50kg paduan ini untuk menghasilkan paduan yang mengandung 75% tembaga? 14. Sebuah laboratorium berbentuk persegi panjang memiliki panjang satu setengah kali lebarnya dan keliling 40m. Cari panjang dan lebarnya. 15. Menerapkan prinsip momen pada balok menghasilkan persamaan berikut: F ×3 = (5− F)×7 di mana F adalah gaya dalam newton. Tentukan nilai F
37 BAB III PERSAMAAN LINIER DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Setelah mempelajari materi Sistem Persamaan Linier (SPL) diharapkan mahasiswa semakin memahami dan dapat mengaplikasikan materi SPL pada bidang teknik mesin. Beberapa indikator pemahaman yang diharapkan setelah mempelajari materi ini yaitu mahasiswa dapat 1) Memahami Definisi Sistem Persaman Linier; 2) Menyelesaikan permasalahan real terkait sistem persamaan linier. 3.1 Definisi Persaman Linier Persamaan Linear didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan tanda penghubung (“=”). Berikut merupakan beberapa jenis persamaan linear yang umum digunakan: 1. Persamaan linear satu variable → 2 – 4 = 0 2. Persamaan linear dua variable → 3 + 2 + 12 = 0 3. Persamaan linear tiga variable → + – – 18 = 0 4. Persamaan linear empat variable → + – – = 3 Pada bagian ini kita akan focus membahas solusi Persamaan Linear Satu Variabel. Bentuk umum dari persamaan linear satu variabel adalah : + =
38 Dimana adalah koefisien , b adalah konstanta dan adalah variabel, dengan , Є dan ≠ 0. berikut ini akan diberikan contoh mencari penyelesaiaan dari suatu persamaan linier satu variabel. Contoh: 1. Tentukan solusi dari persamaan 2(3x – 6) = 3(x + 5) ! Jawab: 9 27 3 6 3 15 12 15 3 12 6 2(3 6) 3( 5) = = − = + + = − − = + x x x x x x x x 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 2 (3x – 6) = 2 3 (2x – 3) ! Jawab: 1 2 (3 − 6) = 2 3 (2 − 3) 6 12 8 18 9 )3 2(4 )6 3(3 = − = − − = − x x x x x
39 Latihan Tentukan penyelesaian dari persamaan linier berikut. 1. + 6 = 8 2. + 10 = 15 3. 3 – 4x = 19 4. + 5 = 7 5. +2 3 = 4 6. + 7 = 9 7. 3 – 6x = 27 8. 2 + 8 = 12 9. − 6 = 8 10. + 9 = 10 11. 4 − 3 = 2 + 7 12. +1 3 = 4 13. − 4 = 3 + 6 14. 2 + 6 = 10 15. 2 − 4 = 10 16. − 2 = 8 17. 6 − 9 = 2 + 7 18. 3x + 2 = 6x + 8 19. 4x – 2 = 2x + 8 20. 3x + 2 = 2x + 10 21. 3x + 1 = 8 22. 2x – 3 = 4x + 9
40 23. 2x = 8 24. 5 3 = 2 +3 2 25. 2x = 4 26. 4x = 5x – 3 27. 5 ( x – 3 ) = 3 ( 6 – 2x ) 28. 4x + 7 = 2x + 8 29. 4 – ( x + 7 ) = 5x + 6 30. −7 +2 = 3 31. 4x – 2 = 14 32. 2 3 x – 1 = 1 4 x + 4 33. 1−2 5 = 3 34. −2 4 = −4 2 35. 12 3 = 1 2 36. 8 + 2x = 12 + 6x 37. 3x – 10 = 5x + 2 38. 2x – 13 = 5x + 2 39. 1−2 3 = 3 40. 5 − 2 = 11 − 5 41. 2( − 3) = 4(2 + 3) 42. 1 − 1 3 (5 − ) = 0 43. 2 5 (2 + 1) =1 3 (4 − 6)
41 44. 3(2 − 5) + 5 = 2(4 + 1) 45. 4(2 + 3) = 3(3 − 1) 46. 4 +3 5 = 2 + 3 47. 3 − 4(2 − 1) = −12 + 5 48. 3 −2 2 + 3 = 1 − 3 +1 5 49. 1 2 − 3 = 1 4 − 5 50. −2 3 + 5 = −2 − +4 5 3.2 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Sistem Persamaan Linier merupakan kumpulan dua persamaan linier atau lebih. Beberapa metode penyelesaian yang sering digunakan antara lain adalah metode substitusi, eliminasi dan campuran. Metode Substitusi yaitu dengan mengubah suatu persamaan menjadi persamaan lain yang ekuivalen. Sedangkan metode eleminasi yaitu menghilangkan salah satu variabel dari kedua persamaan, dengan cara mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan bukan nol sehingga salah satu koefisien variabelnya sama, kemudian dijumlahkan atau dikurangkan kedua persamaan tersebut. Contoh: 1. Jika 4 − 3 = 24 dan = 4. tentukan nilai ... Jawab: 4 − 3(4) = 24
42 4 − 12 = 24 4 = 24 + 12 4 = 36 = 9 Jadi, nilai = 9 2. Penyelesaian persamaan kuadrat 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x1 dan y1. Nilai x1 + y1 adalah .... Jawab: 2x + 4y + 2 = 0| × 3| 6x + 12y + 6 = 0 3x – y – 11 = 0 | × 2| 6x – 2y – 22 = 0 – 14y +28 = 0 14y = –28 y1 = –2 2x + 4y + 2 = 0 2x + 4(–2) + 2 = 0 2x – 8 + 2 = 0 2x = 6 x1 = 3 Jadi x1 + y1 = 3 + (-2) = 1 3. Jika 2 + 4 = 14 dan = 5 . Tentukan nilai .. Jawab: 2(5 ) + 4 = 14 = 5 10 + 4 = 14 = 5(1) 14 = 14 = 5 = 1
43 Jadi, nilai = 5 = 1 4. Penyelesaian persamaan dari 2x1 + 3x2 = 8, x1 + 2x2 = 5, dengan eliminasi dan subtitusi adalah... Jawab: 2 1 + 3 2 = 8 | × 1 | 2 1 + 3 2 = 8 1 + 2 2 = 5 | × 2 | 2 1 + 4 2 = 10 − – x2 = – 2 x2 = 2 Substitusikan x2 ke salah satu persamaan di atas. x1 + 2 (2) = 5 x1 + 4 = 5 x1 = 5 – 4 = 1 solusi = {1, 2} 5. Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 dan x + 3y = 1 adalah ... Jawab: y = 2x + 5 x + 3y = 1 x + 3(2x + 5) = 1 x + 6x + 15 = 1 7x = − 14 x = − 2 selanjutnya substitusi nilai x = − 2 ke dalam
44 y = 2x + 5 y = − 4 + 5 y = 1 Jadi, penyelesaiannya adalah x = −2 dan y = 1. 6. Jika 2x + 3y = 7 dan 3 + = 7 maka tentukan nilai ... Jawab: 2 + 3 = 7 2 = 7 − 3 = 7− 3 2 Selanjutnya substitusi = 7− 3 2 ke dalam persamaan 3x + y = 7 3( 7−3 2 ) + = 7 3(7 − 3 ) + 2 = 14 = 1 Selanjutnya substitusi y = 1 pada persamaan 2x + 3y = 7 2x + 3y = 7 2x + 3(1) = 7 2x = 4 = 2 Jadi, nilai = 2 = 1
45 7. Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1 dan x – 2y = 2 adalah .... Jawab: x – 3y = 1 x – 2y = 2 – −y = −1 → y = 1 x – 2y = 2 → x = 2y + 2 → x = 4, Jadi, penyelesaiannya x = 4 dan y = 1 Berikut merupakan contoh Soal Pemecahan Masalah 8. Keliling persegipanjang adalah 30 cm. Jika ukuran panjang 5 cm lebihnya dari lebar, maka lebar persegipanjang tersebut adalah ... Jawab: 5 10 2 ( 5) 15 15 30 2 2 2 2 5 = = = + + = + = + = + = + = l l l l p l l p l K p l panjang l lebar 9. Tujuh tahun lalu umur Paman sama dengan 6 kali umur Jaka. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ayah sama dengan 5 kali umur Jaka ditambah 9 tahun. Berapa umur Paman sekarang ?
46 Jawab: Misal: Umur ayah = x Umur budi = y Kalimat pertama: x – 7 = 6 (y – 7 ) ⇒ x – 7 = 6y – 42 Kalimat kedua : 2(x+4) = 5 (y+20+9) ⇒ 2x + 8=5y+20+9 Dari kalimat di atas diperoleh: x – 7 = 6y – 42 ⇒ x = 6y – 35... (1) 2x + 8= 5y + 20 + 9 ⇒ 2x – 5y = 21...(2) Substitusi Pers (1) ke persamaan (2) 2x – 5y =21 2(6y – 35) – 5y =21 12y – 70 – 5y = 21 7y = 91 y = 13 Substitusi nilai y ke (1) x – 6y = – 35 x – 6(13) = – 35 x – 78 = – 35 x = 78 – 35 x = 43 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 43.
47 10. Umur sani 7 tahun lebih tua dari ari.sedang umur mereka 43 tahun. tentukan model matematika dari soal terebut dan hitung umur mereka masing-masing. Jawab: misal : sani= ari = = 7 + − = 7 + = 43 − = 7 + = 43 + = 43 – 25 + = 43 2 = 50 = 18 = 25 Jadi, umur sani = 25 tahun sedang umur ari = 18 tahun
48 Latihan Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini 1. x – 3y = 1 dan x – 2y = 2. 2. 2x + 3y = 6 dan x + y = 2 3. = 5 + dan 2 − = 1. 4. − 4 = 3 dan 2 − 3 = 9. 5. + 2 = 3 dan 3 + 5 = 10. 6. 4x – y = – 10 dan x – y = 1. 7. 3x – 4y = 8 dan 3x + y = 40. 8. 3x – 2y = 15 dan 3x + y = 9. 9. 4x – 4y = 8 dan 4x + y = 40. 10. 5x – 4y = 8 dan 5x + y = 40. 11. 6x – 4y = 8 dan 6x + y = 40. 12. 7x – 4y = 8 dan 7x + y = 40. 13. 8x – 4y = 8 dan 8x + y = 40. 14. 2x – 4y = 8 dan 2x + y = 40. 15. 9x – 4y = 8 dan 9x + y = 40. 16. 10x – 4y = 8 dan 10x + y = 40. 17. 11x – 4y = 8 dan 11x + y = 40. 18. x – y = 1 dan 3x – y =6. 19. 3x + y= 1 dan 5x + 2y= 1. 20. 2x – y = 4 dan x + 3y = – 5. 21. 4x – y = 11 dan 2x + 3y = – 5. 22. 4x – y = 8 dan x + 3y = – 5. 23. 2 + 1 = − 1 3 dan 3 – 2 = 3.
49 24. { 6 + 3 7 + 4 = 21 = 2 25. 2x – y = – 4 dan x – y = 1. 26. 9x – 4y = 8 dan 9x + y = 40. 27. 10x – 4y = 8 dan 10x + y = 40. 28. 11x – 4y = 8 dan 11x + y = 40. 29. 4x – y = 8 dan x + 3y = – 5. 30. x + y = – 5 dan 2x – y = 2. 31. 3x +2y = 4 dan 3x – 2y = 9. 32. 2x – 5y = 1 dan 4x + 2y = 14. 33. 5x – 2y = 1 dan 10x + 3y = 23. 34. 3x – 4y = 17 dan 4x + y = – 9. 35. x + y = – 5 dan 2x – y = 2. 36. 3x +2y = 4 dan 3x – 2y = 9. 37. 2x – 5y = 1 dan 4x + 2y = 14. 38. 5x – 2y = 1 dan 10x + 3y = 23. 39. 3x – 4y = 17 dan 4x + y =-9 40. x + y = 7 dan x – y = 1 41. x + y = 6 dan x – y = 6 42. x + y = 5 dan x – y = 3 43. x + y = 4 dan x + 3y = – 1 44. 4x + 3y = 26 dan 3x – y = 13 45. 2x + 3y = 5 dan 3x – 4y = 2 46. 3x = y – 3 dan 6x = y + 3 47. 2x = y – 10 dan 3x = y – 13
50 48. y = 6x + 4 dan 2y = 8x + 12 49. 3y = 4x + 7 dan 4y = 5x + 10 50. x – y = 3 dan x + y = 7 51. x = y + 7 dan x + y = 5 52. 2x + 5y = – 26 dan 3x – 5y = 11 53. x – 2y = –7 dan y + 2x = – 9 54. 5x – 2y = –2 dan 7x – 3y = – 3 55. x + y = 4 dan x – y = 2 56. x + y = 7 dan x – y = 3 57. 3x + 4y = 24 dan x + 2y = 11 58. 2x + 4y = 10 dan x + y = 3 59. x – 3y = I dan 2x – 5y = 3 60. x – 3y = 7 dan 2x – 5y = 3 61. 5x – 4y = 3 dan 2x + 7y = 9 62. x – 4y = 3 dan 2x – 7y = 20 63. 2x + 5y = 4 dan 3x – 5y = 0 64. 2x + 5y = 1 dan 3x – 5y = 14 65. 2x = 7 – y dan 2x = 1 + y 66. 3x = 9 – y dan 3x = 21 + y 67. x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 68. x – 2y = 1 dan 2x + y = 12 69. 5x + 2y = 7 dan 7x – 3y = 5 70. 5x – 2y = 11 dan 7x – 3y = 15 71. y = –100x + 400 dan y = 300x – 300 72. y = 100x + 100 dan y = 300x – 100 73. 0,1x + 0,3y = 2,4 dan 0,5x – 1,5y = 12
51 74. 0,1x + 0,3y = –0,7 dan 0,5x – 1,5y = 2,5 75. Jumlah dua bilangan sama dengan 50 dan selisihnya 16. Tentukan masing-masing bilangan tersebut ! 76. Jumlah umur Andi dan Budi 30 tahun. Selisih umur mereka 6 tahun. Jika Andi lebih tua dari Budi tentukan umur mereka masing-masing! 77. Sebuah kios fotokopi memiliki dua mesin. Mesin A sedikitnya dapat memfotokopi 3 rim perjam sedangkan mesin B sebanyak 4 rim perjam. Jika pada suatu hari mesin A dan mesin B jumlah jam kerjanya 18 jam dan menghasilkan 60 rim, maka mesin A sedikitnya menghasilkan berapa rim? 78. Harga 2kg durian, 2kg semangka dan 1kg pisang adalah Rp70.000,00. Harga 1kg durian, 2kg semangka dan 2kg pisang adalah Rp90.000,00. Harga 2kg durian, 2kg semangka dan 3kg pisang adalah Rp140.000,00, maka harga 1kg semangka adalah… 79. Sebuah bengkel bubut memiliki dua mesin bubut. Mesin A sedikitnya dapat membuat 3 benda/jam, sedangkan Mesin B sebanyak 5 benda /jam. Jika pada suatu hari mesin A dan mesin B jumlah jam kerja nya 18 jam dan Menghasilkan 60 benda , maka berapa benda yang dapat di hasilkan mesin A? 3.3 Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Konsep Determinan Matrik merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam suatu bentuk baris dan kolom.
52 Berikut merupakan contoh matriks yang diberi nama matriks A: A = [ ] Sementara itu, Determinan merupakan selisih antara perkalian diagonal yang pertama dengan diagonal kedua. Determinan matrik A = [ ] dapat kita tulis sebagai berikut. | | = ad – bc Contoh: | 3 2 1 4 | = (3) (4) – (2) (1) = 12 – 2 = 10 Berikut merupakan langkah langkah penyelesaiain Sistem Persamaan Linier dua Variabel menggunakan metode determinan. Misal diketahui SPL berikut + = + = Dimana , , , , , ∈ x = − − = | | | | y = − − = | | | |
53 contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut menggunakan metode determinan. 2x + 3y = 7 x + 4y = 6 Jawab: x = | 7 3 6 4 | | 2 3 1 4 | = (7)(4)−(3)(6) (2)(4)−(3)(1) = 28 − 18 8 − 3 = 10 5 = 2 y = | 2 7 1 6 | | 2 3 1 4 | = (2)(6)−(7)(1) (2)(4)−(3)(1) = 12 − 7 8−3 = 5 5 = 1 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 1 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut menggunakan metode determinan. 3x + y = 7 2x + 4y = 6. Jawab: = | 7 1 6 4 | | 3 1 2 4 | = (7)(4)−(1)(6) (3)(4)−(2)(1) = 28−6 12−2 = 22 10 = 2,2 = | 3 7 2 6 | | 3 1 2 4 | = (3)(6)−(7)(2) (3)(4)−(2)(1) = 18−14 12−2 = 4 10 = 0,4 Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = 1. 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut menggunakan metode determinan
54 x + 3y = 3 2x – y = – 8 Jawab: = | 3 3 −8 −1 | | 1 3 2 −1 | = (3)(−1)−(3)(−8) (1)(−1)−(3)(2) = (−3)−(−24) −1−6 = 21 −7 = −3 = | 1 3 2 −8 | | 1 3 2 −1 | = (1)(−8)−(3)(2) (1)(−1)−(3)(2) = −8−6 −1−6 = −14 7 = −2 Jadi, penyelesaiannya x = –3 dan y = –2.
55 Latihan 4 Selesaikan persamaan linear berikut dengan metode determinan. 1. 2x – 3y = 7 dan 3x + 5y = 1 2. 2x – 3y = 1, 3x + 5y = 11 3. 2x + 3y = 13, 5x – 4y = –2 4. 2x + 3y = 5, 5x – 4y = 1 5. 3x – 2y = 11, 4x – 2y = 10 6. 3x – y = 10, 4x + 2y = 2 7. 2x + 3y = – 6, x = 4 – 3y 8. 2x + 3y = 6, 4x = 1 – 3y 9. 1,6x + 2,1y = 4,0 dan 4,5x + 6,3y = 3 10. 2,7 x – 3,1y = 1,6 dan 8,1x – 9,3y = 4,8 11. 1,8 x – 2,6y = 1,0 dan 2,7 x – 3,9y = 1,5 3.5 Sistem Persamaan Linier dengan Tiga Variabel Sekarang bagaimana cara kita menyelesaikan SPL tiga variable? Salah satu cara paling mudahnya adalah dengan menggunakan metode determinan. | ℎ | = + + – – – . Berikut merupakan contoh penggunaan determinan yang dari matriks yang berasal dari SPL tiga variable. 1. Hitunglah determinan dari. | 2 3 1 0 1 2 3 2 4 |
56 Jawab: | 2 3 1 0 1 2 3 2 4 | = 8 + 18 + 0 – 3 – 8 – 0 = 15. 2. Hitung determinan dari. | −2 3 1 3 4 2 1 −1 0 | Jawab: | −2 3 1 3 4 2 1 −1 0 | = 0 + 6 – 3 – 4 – 4 – 0 = –5. Berikut ini diberikan persamaan umum persamaan linier tiga variabel: 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 3 + 3 + 3 = 3 dalam mencari penyelesaian sistem persamaan di atas dapat menggunakan aturan Cramer (determinan), hasil penyelesaiannya akan terlihat seperti ini:
57 Berikut ini contoh penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel. Contoh: 1. Jika x0, y0, z0 penyelesaian system persamaan 2 + = 5 − 2 = −3 + = 1 } maka x0 + y0 + z0 =... Jawab: Ubah Penyelesaian tersebut menjadi bentuk matriks: [ 2 0 0 1 1 1 1 5 −2 −3 0 1 ] Sehingga didapat, x = | 5 0 1 −3 1 −2 1 1 0 | | 2 0 1 0 1 −2 1 1 0 | = 0 + 0 – 3−1+10−0 0+0+0−1+4−0 = 2 y = | 2 5 1 0 −3 −2 1 1 0 | | 2 0 1 0 1 −2 1 1 0 | = 0 – 10 + 0 + 3 +4 − 0 0+0+0−1+4−0 = –1 z = | 2 0 5 0 1 −3 1 1 1 | | 3 0 1 0 1 −2 1 1 0 | = 2 + 0 + 0 – 5 + 6 − 0 0+0+0−1 + 4−0 = 1
58 maka x0 + y0 + z0 = 2 – 1 + 1 = 2 2. Himpunan penyelesaian system persamaan { 3 + 2 − = 7 4 − 3 2 + 3 = −6 6 − 4 − 3 = 1 adalah {x,y,z} Nilai x – y – z =........ Jawab: Terlebih dahulu mengubah koefisien menjadi tidak berbentuk pecahan. 3 + 2 − = 7 x 6 ⇒ 2x + 3y – 6z = 42 ... (1) 4 − 3 2 + 2 = –6 x 8 ⇒ 2x – 12y + 4z = –48 ...(2) 6 − 4 − 3 = 1 x 24 ⇒ 4x – 6y – 8z = 24 ...(3) Kemudian didapat x = | 42 3 −6 −48 −12 4 24 −6 −8 | | 2 3 −6 2 −12 4 4 −6 −8 | = 4032+288−1728—1728+1008−1152 192 + 48 + 72 – 288+48+48 = 6
59 y = | 2 42 −6 2 −48 4 4 24 −8 | | 2 3 −6 2 −12 4 4 −6 −8 | = 768+672−288−1152−192+672 192 + 48 + 72 – 288+48+48 = 4 z = | 2 3 42 2 −12 −48 4 −6 24 | | 2 3 −6 2 −12 4 4 −6 −8 | = −576−576−504+2016−576−144 192 + 48 + 72 – 288+48+48 = –3 sehingga x – y – z = 6 – 4 – (–3) = 5
60 Latihan Tentukan penyelesaian dari persamaan tiga variabel berikut dengan menggunakan metode determinan. 1. + − = 12 2 − 3 + 2 = 9 − + 4 = −7 } 2. 2 − 4 − 3 = 14 3 + 7 − 2 = 15 3 − 8 + 7 = 4 } 3. − 2 + = −1 2 − 3 + 6 = 5 3 − 4 + 8 = 2 } 4. 3 + 2 − 3 = 18 2 − 5 + 3 = 12 3 + 4 − 5 = 19 } 5. 5 − 2 + 3 = 130 2 + 8 − 4 = 120 3 − 2 = 80 }
61 Soal Pemecahan Masalah 1. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp.1400. Pada tempat yang sama Mety membeli 3buah kue A dan 4buah kue B dengan harga Rp1950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 buah kue B kemudian ia membayar dengan selembar uang Rp1000, berapa nilai A dan B serta berapa uang yang dikembalikan? 2. Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah… 3. Makanan A harga belinya Rp2.000 perbungkus dijual dengan laba Rp400 perbungkus. Makanan B dibeli Rp1.000 dijual dengan laba Rp300 perbungkus. modal yang dimiliki Rp80.000, dengan daya tampung kios 50bungkus. Berapa banyak masingmasing makanan yang harus dibeli untuk mendapatkan keuntungan yag maksimal? 4. Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi carilah nilai x dan y dari persamaan berikut: + = 9 dan 2 + = 7 5. Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi carilah nilai x dan y dari persamaan berikut: 2 + 3 = 1 dan − = 2
62 6. Pada sebuah tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil ( roda empat ). Setelah dihitung jumlah roda seluruhnya ada 220. Jika tarif parkir untuk sepeda motor Rp 300,00 dan untuk mobil Rp 500.00, maka besar uang parkir yang diterima tukang parkir tersebut adalah ... 7. Diketahui keliling sebuah persegi panjang adalah 70 cm dan panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Maka luas persegi panjang itu adalah ... 8. Dalam suatu pertandingan bola, PSSi menjual dua jenis tiket, yaitu untuk kelas VIP dan kelas tribun. Harga 2 tiket kelas VIP dan 3 tiket tribun Rp. 175.000,00 sedangkan harga 3 tiket kelas VIP dan 1 tiket kelas tribun Rp. 175.000,00. Harga 5 tiket kelas VIP dan 3 tiket kelas tribun adalah … 9. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 96 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang untuk penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 2880 kg. Bila x dan y berturut – turut menyatakan banyak penumpang kelas utama dan ekonomi, maka banyaknya penumpang dari persoalan di atas adalah ... 10. Seorang pengusaha meubel akan memproduksikan meja dan kursi yang menggunakan bahan dari papan – papan kayu dengan
63 ukuran tertentu. Satu meja memerlukan bahan 10 potong papan dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yang tersedia ada 500 potong. Biaya pembuatan satu meja Rp100.000,00 dan biaya pembuatan satu kursi Rp40.000,00. Anggaran yang tersedia Rp1.000.000,00. Banyaknya meja dan kursi yang dapat diproduksi dari persoalan tersebut adalah ... 11. Jika x0, y0, z0 penyelesaian system persamaan 2 + = 5 − 2 = −3 + = 1 } maka x0 + y0 + z0 =... 12. Uang Adinda Rp. 40.000,00 lebih banyak dari uang Binary ditambah dua kali uang Cindy. Jumlah uang Adinda, Binari dan Cindy Rp. 200.000,00, selisih uang Binary dan Cindy Rp. 10.000,00. Berapa jumlah uang Adinda dan Binari? 13. Jika (x 0 , y 0 , z 0 ) memenuhi sistem persamaan linear berikut 2x + y – 3x = -11 x + 2y + z = 4 3x – 3y + 2z = 25 tentukan nilai x ,y dan z: 14. Ani, Nia, dan Ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg
64 anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk seluruhnya adalah …
RkJQdWJsaXNoZXIy MTM3NDc5MQ==