i
ii
iii KALKULUS TERAPAN (EDISI REVISI) Indriyani Rebet
iv
v KALKULUS TERAPAN (EDISI REVISI)
vi Hak Cipta Sanksi Pelanggaran Pasal 113 Undang-undang Nomor 28 Tahun 2014 Tentang Hak Cipta • Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah). • Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah). • Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/ a tau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/ a tau pidana denda paling banyak Rp. 1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah). • Setiap Orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah).
vii KALKULUS TERAPAN (EDISI REVISI) Indriyani Rebet Penerbit PNJ Press Anggota APPTI No: 001.004.1.06.2018
viii KALKULUS TERAPAN (EDISI REVISI) Indriyani Rebet Editor Nunung Martina, Fuad Zainuri Desain Sampul & Tata Letak Dimas Surya Perdana Penerbit PNJ Press Gedung Q, Politeknik Negeri Jakarta, Jl. G.A. Siwabessy, Kampus Baru UI, Depok Cetakan Pertama, November 2021 ISBN : 978-623-7342-78-6 Hak Cipta Dilindungi Oleh Undang-Undang Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit.
ix PRAKATA Puji syukur kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penyusunan buku Kalkulus Terapan edisi pertama ini selesai dibuat melalui pendanaan dana hibah P3AI Politeknik Negri Jakarta tahun 2020 Buku Kalkulus Terapan ini membahas konsep Differensial dan Integral serta aplikasinya dibidang Teknik Dengan mempelajari buku ini diharapkan pembaca dapat menguasai differensial dan Intgral serta penerapannya sehingga lebih mudah mempelajari bidang ilmu keteknikan yang lain Penulis mengucapkan terimakasih atas diterbitkannya buku ini Depok, April 2021 Penyusun
x KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT. Akhirnya, buku “KALKULUS TERAPAN” berhasil ditulis. Buku ini tersusun atas 5 bab dan setiap bab terdiri dari pendahuluan yang berfungsi mengantarkan pembaca agar lebih memahami isi materi. Lalu, materi inti disertai dengan contoh-contoh yang mudah dipahami, kemudian latihan soal yang dilengkapi dengan jawabannya. Hal ini berfungsi untuk menilai kemampuan pemahaman mahasiswa terhadap materi tersebut. Sebelum mengerjakan soal latihan diharapkam mahasiswa sudah memahami teori dan juga contoh-contohnya .Isi buku ajar ini menjabarkan kemampuan dasar yang harus dikuasai oleh mahasiswa agar dapat dengan mudah mengaplikasikan basic mathematic kedalam ilmu lain. Penulis mengucapkan terimakasih kepada pemberi dana sehingga buku ajar ini dapat terbit dan dapat membantu pemahaman matematika yang luas penggunaannya. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi mahasiswa
xi DAFTAR ISI Prakata Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Bab 1. Tinjauan Mata Kuliah Bab 2. Differensial Bab 3. Anti diferensial Bab 4. Integral Bab 5. Persamaan Differensial Daftar Pustaka ( Bibliografi) Biodata ix x xi xii xiii 1 3 53 63 133 183 184
xii DAFTAR TABEL Tabel 2.3.6.1 koefisien persamaan normal Tabel 2.3.6.2 koefisien persamaan normal 40 42
xiii DAFTAR GAMBAR Gambar 2.3.1 Gradien garis potong pada kurva Gambar 2.3.2 Ekstrim Maksimum Gambar 2.3.3 Ekstrim minimum Gambar 2.3.4.grafik fungsi y=2x^3-3x^2-12x+7 Gambar 2.3.6.1.Letak titik-titik hasil pengujian Gambar 2.3.6.2 . Perkiraan garis lurus yang dapat dibuat melalui beberapa titik Gambar 4.2.1. Bidang tak beraturan Gambar 4.2.2. Bidang R yang dipotong menjadi beberapa empat persegi panjang Gambar 4.3.1. Bidang yang terletak antara 2 kurva Gambar 4.3.2. Bidang yang dibatasi oleh kurva y=x^4 dan y=2x-x^2 Gambar 4.4.1 Bidang Datar yang dibatasi Kurva y= f(x), sumbu x, garis x=a dan x=b Gambar 4.4.2. Bidang datar yang dibatasi Kurva y=√x,sumbux ,garis x=4 Gambar 4.4.3. Bidang datar yang dibatasi Kurva dua kurva diputar mengelilingi sumbu X Gambar 4.4.4. Bidang datar yang dibatasi Kurva y=x^2 & y^2=8x Gambar 4.6.1.1 Rotasi Batang terhadap garis l (garis yang melaluiujung batang) Gambar 4.6.1.2. Rotasi Batang terhadap garis l (garis yang melalui pertengahan batang) Gambar 4.6.1.1 Rotasi Batang terhadap garis l (garis yang melaluiujung batang) Gambar 4.6.2.1. bidang empat persegi panjang.yang 18 20 20 24 36 37 70 72 73 75 77 78 79 82 104 105 106 109
xiv dirotasikan terhadap summbu xx Gambar 4.6.4.1.Rotasi Piringan Melingkar dengan sumbu Z sebagai sumbu putar Gambar 4.6.4.1.Rotasi Piringan Melingkar dengan sumbu Z sebagai sumbu putar Gambar 4.6.7.1. Bidang vertical yang berada dibawah permukaan zat cair Gambar 4.6.7.2. Bidang vertical yang berada dibawah permukaan zat cair Gambar 4.6.7.3. Plat segi tiga vertical yang berada dibawah permukaan zat cair Gambar 4.7.2. 1.Tekanan Zat Cair pada sebuah bidang miring Gambar 4.7.3. 1 Bidang tak beraturan yang terendam dalan zat cair Gambar 4.7.3.2. Tabung berisi zat cair zat cair Gambar 4.7.3.3. Sisi vertical abung berisi zat cair zat cair Gambar 4.7.3.4. Bendungan yang terendam air Gambar 4.8.1 Pegas Gambar 4.8.2.2 Tanki silinder berisi zat cair Gambar 5.3.1 Rangkaian listrik Gambar 5.3.2. Rangkaian RL Gambar 5.3.3 Rangkaian RC Gambar 5.3.4 Kuat arus Rangkaian RC, jika E konstan Gambar 5.3.5. Rangkaian RLC Gambar 5.3.6 Sistem Pegas Gambar 5.3.7. Osilasi Selaras Gambar 5.3.8 sistem peredaman Gambar 5.3.9 Gerak dalam kasus peredaman berlebihan Gambar 5.3.10. Osilasi Teredam 115 117 117 118 119 120 120 121 124 127 129 161 163 166 167 168 172 174 176 178 179 180
xv Gambar 5.3.11. Peredaman kritis 180
xvi
1 BAB 1 Tinjauan Mata Kuliah Untuk mempelajari mata kuliah dasar keahlian dan mata kuliah keahlian pada bidang teknik diperlukan konsep-konsep dasar yang berkaitan dengan matematika. Untuk menghitung bahan minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah benda diperlukan perhitungan dengan differensial Contoh lain untuk menentukan energy yang diperlukan untuk menggerakkan sebuah benda diperlukan konsep inersia. Momen inersia ditentukan dengan perhitungan matematika benda pejal. Untuk benda pejal beraturan tidaklah sulit, namun untuk benda yang bentuknya tak beraturan atau untuk benda yang jaraknya terhadap sumbu rotasi tidak kontinyu diperlukan prinsip integral. Persamaan differensial dijumpai pada pemodelan Rangkaian listrik dan masalah osilasi Dan masih banyaklagi penggunaan konsep kalkulus yang diperlukan oleh mata kuliah keahlian bidang teknik.
2
3 BAB 2 Differensial 2.1. Pendahuluan: Pengertian fungsi, notasi fungsi. Untuk mempelajari Differensial terlebih dahulu kita harus mengenal pengertian Fungsi. Sebuah Fungsiadalah aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek pada suatu himpunan, yang disebur daerah asal, dengan sebuah nilai untuk ( ) dari himpunan kedua. Himpunan kedua ini disebut daerah nilai (jelajah). (Edwin J.Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal44) Contoh: : ; , maka ( ) = 2 Fungsi: Notasi (symbol) fungsi digunakan huruf tunggal misalnya atau g atau F dst, maka ( ) menyatakan nilai yang diberikan oleh kepada . (Edwin J. Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal 44) Jadi jika ( ) = 2 (2) = 4 ( ) = 2
4 2.2. Differensial Fungsi dengan 1 Variabel Bebas 2.2.1. Pengertian differensial Jika = ( ) : = ′( ) = lim ∆ →0 ∆ ∆ = lim ∆ →0 ( +∆ )− ( ) ∆ (Edwin J. Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal137) Notasi differensial Jika notasi fungsi berbentuk = ( ) dapat ditulis dengan: atau ( ( )) atau y, ′( ) (Edwin J.Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal 114, 130) 2.2.1 Differensial fungsi aljabar Misalnya fungsi aljabar berbentuk = ( ) Theorema 1: = ( ) → =0. Contoh: = 8→ =0 Theorema 2 : = ( ) → =1 Theorema 3 : = → = n −1
5 contoh: = 5 → =5 4 =∛ 2= 2 3 → =2 3 −1 3 =3 2 √ 3 Theorema 4: Jika suatu konstanta dan fungsi yang dapat didifferensialkan maka ( ′( ) = . ′( ) Contoh; y= ( ) = 3 4 3 4 = 3 4 = 3.4 3=12 3 Theorema 5: Jika u = ( ) = ( ), ; ( + ) = + Theorema 6: ( − ) = - Theorema 7: ( . ) = + Theorema 8:
6 ( ) = − 2 Contoh: = (3 2 + 2); = (5 −7) ( + ) = 6 + 5 d(U dx . V) = 6x(5x−7) + 5(3x2 + 2) = 45x2 −42x + 10 d d ( U V x ) = 6x(5x−7) −(3x2 + 2)5 (5x−7)2 = 15x2 −42x−10 (5x−7)2 2.2.2. Aturan Rantai Aturan Rantai Digunakan untuk mendifferensialkan fungsi komposit. Yaitu fungsi yang memuat fungsi lain. = dengan = ( ) ↓ ↓ = → = × = −1 (Edwin J.Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal 138) Contoh : = (3 2 −2)4
7 = 3 2-2→ = 4 ↓ ↓ =6 = = 4 3 → = × =6 × 4 3=24 (3 2 −2)3 2.2.3. Differensial fungsi transenden Fungsitransenden adalah fungsi selain fungsi aljabar, yaitu Fungsi logaritma, fungsi eksponen dan fungsi trigonometri serta inversnya fungsi trigonometri −1 (Edwin J.Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal 355) 2.2.3.1. Fungsi logaritma natural dan logaritma biasa Fungsi logaritma natural: adalah logaritma dengan basis e. e bilangan irrasioanal, dinyatakan dengan = log =ln dengan = ( ) Sedangkan logaritma biasa adalah logaritma dengan basis a; a bilangan positif selain 1. Fungsiny dengan = log Ada beberapa sifat logaritma biasa yang berlaku untuk logaritma natural
8 Sifat-sifat logaritma (Edwin J.Purcell Dale Varberg Jilid 4 hal 358) Logaritma Biasa Logaritma natural 1.log = log + log = + 2. log = log −log = − 3.log = log = 4.log =log log =log log =l l n n = maka = × = 1 JIka = dengan = ( ) maka = ℎ: 1. = ln(3 2 + 5) = 3 2 + 5 = ln = 6 = 1 → =3 6 2+5 2. = ln(4 + 5)(2 −3). Untuk mencari differensial dari bentuk ini kita gunakan sifat 1 dari logaritma, setelah itu baru didifferensialkan
9 = ln(4 + 5)(2 −3) = ln(4 + 5) + ln (2 −3) = (4 4 + 5) + (2 2 −3) 3. = ln√3 + 7 Untuk mencari differensial bentuk ini kita gunakan sifat 3 logaritma selanjutnya didifferensialkan = ln√3 + 7 = 1 2 ln (3 + 7) = 2(3 3 + 7) 2.2.3.2. Differensial Fungsi logaritma biasa = log , = ( ), : ( ) Dengan menggunakan sifat ke 4 logaritma, diperoleh y = log = =( 1 ) = 1 1
10 Kesimpulan: = → = Contoh: = log3(2 2 + 4), carilah Jawab: dengan sifat 4 bentuk = log3(2 2 + 4) dapat ditulis = ln(2 2 + 4) ln 3 = ln 1 3 ln (2 2 + 4) = ln 3(2 1 2 + 4) = (2 1 2 + 4) ln 3 Contoh: 2. = log5 (2 + 4) (5 −8) Untuk mengerjakan soal ini kita gunakan sifat kedua logaritma. = log5 (2 + 4) (5 −8) = log5(2 + 4) −log5(5 −8) = 1 5 ln(2 + 4) − 1 5 ln (5 −8) = 1 5 [ln(2 + 4) −ln(5 −8)]
11 = 1 5 [ 2 2 + 4−5 5 −8 ] Contoh 3. = log5 �(2 + 4)2 3 = log5 �(2 + 4)2 3 =log5(2 + 4)2 3 =2 3 log5(2 + 4) = 2 3 ln(2 + 4) 5 = 3 2 5 (2 2 + 4) = 3(2 4 + 4) ln 5 2.2.4. Differensial fungsi Eksponen. Fungsi eksponen terdiri dari Fungsi ekspoen dengan basis e dan basis a 2.2.4. 1.Differensial fungsi Eksponen dengan basis e Bentuknya = , = ( ) = = = × = = , = ( ) → =
12 Contoh: = 3 2−5 Misalnya = 3 2 −5 → = = 6 = = 6 3 2−5 2.2.4.2. Differensial fungsi eksponen dengan basis ( > ) = dengan = ( ) = = × 1 = = = = → = Contoh = 52 −3 Misalnya = 2 −3 → = 5 = 2 =5 5 = 52 −32 5
13 2.2.5. Differensial Fungsi trigonometri 1. = sin , = ( ) = u 2. = , = ( ) =− u 3. = , = ( ) = 2 u 4. = = ( ) =− 2 u 5. = , = ( ) = . 6. = , = ( ) =− Contoh: 1. = sin (3 2+5)→ = 3 2 + 5 maka = sin = 3.2 = 6 → =
14 = 6 . cos (3 2 + 5) 2. = sec (3 −5) = 3 −5 maka = sec = 3 = = 3 = 3 sec(3 −5) tan (3 −5) 2.2.6. Pendifferensialan Logaritmik Untuk mendifferensialkan fungsi berbentuk perkalian, pembagian atau gabungannya = . . = . dengan = ( ), = ( ), = ℎ( ) = ln� . � = + − (KA Stoud, hal 229) 1 = 1 + 1 −1 = ( 1 +1 − 1 ) = . ( 1 +1 − 1 ) Contoh: 1. = (3 2 + 4) sin(4 −5) 52 −3
15 = (3 2 + 4) sin(4 −5) 52 −3 = (3 2 + 4) +lnsin(4 −5) + 52 −3 = (3 2 + 4) +lnsin(4 −5) + 52 −3 = (3 2 + 4) +ln sin(4 −5) + (2 −3) 5 1 =3 1 2+4 6 +sin 1 (4 −5) 4 cos(4 −5) + 2. 5 = (3 1 2+4 6 +sin 1 (4 −5) 4 cos(4 −5) + 2. 5) = (3 2 + 4) sin(4 −5) 52 −3( 6 3 2 + 4 + 4 co (4 −5) + 2. 5) 2. =(3 +7).tan 2 cos (2 −3) = ln(3 + 7) + 2 − (2 −3) 1 = (3 3 + 7) + 1 2 2 22 + cos (2 1 −3) . 2sin (2 −3) = [ (3 3 + 7) + 1 2 2 22 + cos(2 1 −3) . 2 sin(2 −3)] =(3 +7).tan 2 cos (2 −3) [ 3 (3 +7) + 1 2 2 22 +cos 1 (2 −3) . 2 sin(2 − 3)] 2.1.2.6.
16 2.2.7. Pendifferensialam Fungsi Implisit 2.2.7.1. Pendahuluan Penulisan bentuk Fungsi bias dilakukan dengan cara memisahkan variable-variabel bebasnya. Bentuk Eksplisit jika variable sepenuhnya merupakan fungsi Contoh: = 2 + 3 −5 Ada kalanya suatu fungsi satu variabel tidak dapat dipisahkan dari variable lain. Fungsi yang demikian disebut fungsi Implisit. Contoh fungsi Implisit 2 + 2 = 16 3 −3 2 2 −5 3 = 9 2.2.7.2. Mendifferensialkan Fungsi Implisit (KA STROUD, Erwin Sucipto, hal 234) Mendifferensialkan Fungsi Implisit dilakukan dengan cara mendifferensialkan tiap sukunya. Contoh: 1.Carilah dari 2 + 2 = 16 2 + 2 = 16
17 2 + 2 = 0 2 + 2 = 0 =− 2. Carilah dari 3 −3 2 2 −5 3 = 9 3 −3 ( 2 2) −5 3 = 9 3 2 −3(2 2 + 2. 2 ) −5.3 2 = 0 (3 2 −6 2) −(6 + 15 2) = 0 = (3 2 −6 2) (6 + 15 2) Soal Latihan: Differensialkan terhadap x 1. 2 −3 +� =9 2. 2 2 + 5� = 10 2.3.1 Aplikasi Differensial Harga Ekstrim Pengertin gradient garis potong kurva dan gradient garis singgung kuva.
18 Perhatikan kurva berikut ini Gambar 1 Gradien garis potong pada kurva (untuk menjelaskan gradient grs singgung) Dari grafik dapat dilihat bahwa gradien garis potong adalah: = =∆ ∆ Jika ∝ ∝ bernilai + arah garisnya miring ke kanan.(gambar kanan) ∝ ∝ − arah garis nya miring ke kiri ( gambar kiri) Jika garis potong
19 ∝ makin kecil dan . Jika maka ∆ = 0 ; ∆ = 0….. Jadi ∝=∆ ∆ =0 0 ( tak dapat ditentukan). Oleh karena itu, ∆ ≠ 0 ℎ . Hal ini ditulis dengan lim ∆ →0 ∆ ∆ ditulis dengan Jadi gradien garis ∝= Garis potong 2 dinyatakan dengan ∝= lim ∆ →0 ∆ ∆ = = ′( )
20 2.3.2. Menentukan Harga Ekstrim Denga Differensial Pertama Gambar 2.3.1 ekstrim maksimum Gambar 2.3.3 ekstrim minimum Dari grafik diatas (grafik a) dapat dilihat bahwa kemiringan garis singgung:
21 Disebelah kiri dari = ∝< 900maka ∝> 0, .Ini berati > 0 Pada = ( ), ∝= 00; ∝= 0 ini berati =0 Disebelah kanan dari = , ∝> 900 maka ∝ 0 ( ), . Ini berati < 0. Ini semua berakibat titik ( , ( )) ℎ . = = ( )ℎ Dari grafik diatas (grafik b) dapat dilihat bahwa kemiringan garis singgung : Disebelah kanan dari = ∝< 900maka ∝> 0, . Ini berati > 0 Pada = ( ), ∝= 00; ∝= 0 ini berati =0 Disebelah kiri dari = , ∝> 900 maka ∝ 0 ( ), . Ini berati < 0. Ini semua berakibat titik ( , ( )) ℎ ℎ.
22 = = ( )ℎ Kesimpulan: Harga ekstrim maksimum pada y = ( )dicapai jika tanda dari ′( ) + 0 − Harga ekstrim minimum pada y = ( )dicapai jika tanda dari ′( ) − 0 + Langkah-langkah menenetukan harga ekstrim dengan differensial pertama 1. Tentukan = ′( ) 2. Tentukan bilangan kritis dari ( ) ketika ′( ) = 0, misalnya = atau = 3. Tentukan tanda dari ′( ) disekitar bilangan kritis ( dikiri dan kanan bilangan kritis) 4. Jika tanda ′( ) ℎ + 0− . 5. Jika tanda dari ′( ) berubah dari – 0 + maka jenis ekstrim fungsi minimum 6. Harga ekstrim fungsi adalah = ( ) = ( )
23 Contoh Tentukan harga ekstrim dan jenisnya: = ( ) = 2 3 −3 2 − 12 + 7 - ′( ) = 6 2 −6 −12 = 6( 2 − −2) Bilangan kritis diperoleh jika ′( ) = 0 6( 2 − −2)=0→6( + 1)( −2)=0 Bilangan kritis 1 =−1 dan 2 = 2 Tanda ′( )disekitar 1 =−1 dan 2 = 2 ′( ) +++ 0 ------- 0 ++ -1 2 Pada =−1 . Harga ekstrim maksimum = (−1) = 14 Pada = 2 dicapai ekstrim minimum. Harga ekstrim minimum = (2) =−13
24 2.3.4 Gambar grafik fungsi = 2 3 −3 2 −12 + 7 2.3.3. Menentukan Harga Ekstrim dengan differensial kedua Kita ulang materi yang baru saja kita bahas Harga ekstrim maksimum dicapai jika tanda dari ′( ) + 0 − Harga ekstrim minimumdicapai jika tanda dari ′( ) − 0 + Jika ′( ) + ( ) Jika ′( ) − ( ) Jika ′′( ) < 0 ′( )turun nilainya dari + 0 - yang berati Jenis ekstrimnya maksimum. Langkah- langkah mencari harga ekstrim dengan differensial kedua:
25 1. Tentukan = ′( ) 2. Tentukan bilangan kritis dari ( ) ketika ′( ) = 0, misalnya = atau = 3. Tentukan dari ′′( ) 4. Tentukan ′′( ) 5. Jika tanda ′ ′( ) < 0 . 6. Jika tanda dari ′′( ) > 0 maka jenis ekstrim fungsi minimum 7. Harga ekstrim fungsi adalah = ( ) = ( ) Contoh: = ( ) = 2 3 −3 2 −12 + 7 ′( ) = 6 2 −6 −12 = 6( 2 − −2) -Bilangan kritis diperoleh jika ′( ) = 0 6( 2 − −2)=0→6( + 1)( −2)=0 -Bilangan kritis 1 =−1 dan 2 = 2 - ′′( ) = 12 −6 ′′(−1) =−18 < 0, =−1 , ℎ =14 - ′′(2) = 16 > 0, = 2 ,
26 ℎ =-13 2.3.4 Aplikasi Harga Ekstrim Dalam persoalan sehari- hari sering kita temui permasalahan tentang harga ekstrim. Namun kita tidak menyadarinya. Persoalan biasanya sangat umum dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam bidang teknik. Umum artinya belum dinyatakan dalam bentuk matematik. Menghadapi persoalan tersebut tugas kita yang utama adalah mencari bentuk matematikanya. Atau membuat model matematikanya Bagaimana membentuk model matematika persoalan harga Ekstrim? Inilah langkah-langkahnya: 1. Nyatakan besaran yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan. Tulis dengan huruf besar (krn ini akan menjadi fungsinya). Contoh Misalnya yg akan dimaksimumkan volume tabung, tulis dengan V 2. Nyatakan besaran tersebut dalam satu variabel bebas
27 Jika lebih dari satu variabel bebas, carilah persamaan –persamaan lain yang memua hubungan antara variabel-variabel tsb. Subsitusikan kedalam besaran yang akan dimaksimumkan/diminimumkan sehingga besaran yg akan dimaksimimkan/diminimumkan tsb hanya memuat 1 variabel bebas. 3. Carilah Harga ekstrim fungsi dengan derifatif pertama atau kedua. Contoh: Selembar plat berbentuk empat persegi panjang. Ukurannya 24 x 9 dm Pada keempat ujungnya akan dipotong bujur sangkar-bujur sangkar kecil yang sama ukurannya Sisi-sisi sisanya kemudian dilipat keatas sehingga akan diperoleh kotak terbuka. Tentukan ukuran kotak supaya kapasitasnya maksimum Penyelesaian: 1, Besaran yang dimaksimumkan adalah Kapasitas Kotak ( Volume ) : V 2. Nyatakan V dengan 1 variabel bebas. Variabel bebasnya misalnya x :
28 Dari gambar diatas diperoleh: ( ) = (24−2 )(9−2 ) =(216−66 + 2 2) = 216 −66 2 + 2 3 Jadi Fungsinya sudah ketemu: V( ) = 216 −66 2 + 2 3 Selanjutnya kita cari harga ekstrimnya dengan mencari bilangan kritis terlebih dahulu: ( ) = 216 −66 2 + 4 3 V′( ) = 216−132 + 12 2=0 ′( ) = 12(18−11 + 2) = 0
29 ′( ) = ( −2)( −9)=0 Bilangan kritis = 2 = 9 ′′( ) =−132 + 24 "( = 2) =−132 + 48 < 0 "( = 9) =−132 + 216 > 0 Jadi pada = 2 Pada = 9 Harga ekstrim maksimum adalah: (2)=(20)(5)2=200 3 Panjang kotak 20 dm Lebar 5 dm Tinggi kotak 2 dm Contoh 2: Sebuah kotak terbuka kapasitasnya 36.000 3 Panjang kotak dua kali lebarnya. Berapakah ukuran kotak agar bahan yang diperlukannya sedikit mungkin
30 Penyelesaian: Besaran yang diminimumkan adalah luas bahan Misalnya : , : & : ( , , ) = . + 2 . + 2 (3 variabel bebas) Maka harus dicari 2 persamaan lagi yang memuat hubungan antara , & Persamaan itu adalah: 1. = 36.000 →36.000 = . . 2. = 2 Persamaan kedua disubstitusikan kedalam persamaan 1 sehingga diperoleh: 36000=2 2 Sehingga dari sini diperoleh =18 000 2 Kembali ke besaran yang diminimumkan: = . + 2 . + 2 .
31 ( ) = 2 2 + 2 . 18 000 2 + 2.2 18 000 2 = 2 2 + 36000 −1 + 72000 −1=2 2 + 108000 −1 ( , , ) = . + 2 . + 2 . ( ) = 2 2 + 2 . 1800 2 + 2.2 1800 2 = 2 2 + 3600 −1 + 7200 −1 =2 2 + 10800 −1 → Fungsinya sudah diperoleh ′( ) = 4 −10800 −2 → ′( ) = 0 4 = 10800 −2 atau 4 =10 800 2 → 3 =27000 =√27000 3 =30 ; = 60 & = 20 Contoh 3: Tentukanlah perbandingan ukuran tabung yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan ( dimasukkan) kedalam sebuah kerucut. Penyelesaian Besaran yang dimaksimumkan: Volume tabung:
32
33 ( − ℎ) = → − ℎ = ℎ = − → ℎ Sustitusikan kedalam = 2ℎ ( ) = 2� − � = 2 − 3 ′( ) = 2 −3 2=0 �2−3 �=0 Dari sini diperoleh =2 3 &ℎ =1 3 Contoh 4; Ada sebatang pohon, penampangnya berbentuk lingkaran. Batang pohon tersebut akan dipotong menjadi balok dengan tinggi tetap.Jika kekuatan balok sebanding dengan lebar dan kuadrat panjang, tentukan ukuran balok agar diperoeleh balok yanga paling kuat. Penyelesaian: Besaran yang dimaksimumkan : Kekuatan Balok Tinggi balok = tinggi batang pohon (tetap) Jadi yang berubah penampang. Dari lingkaran menjadi empat persegipanjang. Jadi diameter batang = sudah diketahui dan dpt
34 diukur yang belum diketahui panjang dan lebar pemotongan, misalnya & 2 + 2 = 2 Penampang Batang Penampang Balok Kembali ke besaran yang dimaksimumkan ≈ . 2 ( , ) = . . 2 ( ) = . ( 2 − 2) atau ( ) = ( 2) − 3 ′( ) = 2 −3 2=0 ( 2 −3 2)=0 →3 2 = 2 → = � 2 3 2 =1 3 √3 =� 2 −1 3 2 =�2 3 2= 3 √6
35 2.3.5. Latihan Soal Aplikasi harga Ekstrim 1. Tempat air berbentuk tabung terbuat dari kaca (bahan gelas) dantutup dari baja. Harga tiap satuan luas tutup lebih mahal 3 kalinya dibanding harga bahan gelas. Tentukan perbandingan ukuran tabung agar harga bahan pembuatannya sehemat mungkin. 2. Penampang lintang saluran terbuka berbentuk trapezium dengan alas 6 cm danmasing-masing sisimiring 10 cm. Tentukan lebar garis atas saluran agar luas penampang saluran maksimum 3. Jangkauan sinyal ( ) dari suatu kabel dibawah laut sebanding dengan 2 1 dengan adalah perbandingan antarjari-jari konduktor dengan jari-jari kabel. Tentukanlah harga agar jangkauan tersebut maksimum
36 2.3.6. Aplikasi Differensial Metode Kuadrat Terkecil Pendahuluan: Hasil suatu pengujian (percobaan) biasanya memuat kesalahankesalahan . Oleh karena itu titik-titik yang dihasilkan akan tersebar disekitar tempat dimana seharusnya berada. Jika kita tarik garisnya maka bisa saja beberapa titik-titik itu berada diluar garisnya. Untuk menentukan garis mana yang paling cocok maka perlu kita cari hubungan yang akan timbul sehingga kita dapatkan garis yang paling mendekati yang semestinya. Artinya titik-titik itu paling sedikit melencengnya terhadap garis yang diperoleh. Gambar 2.3.6.1. Letak titik-titik hasil pengujian
37 Bagaimana posisi garis lurus yang akan kita buat? Apakah melalui 2titik yang sudah kita gambar? Apakah melalui pertengahan titik-titik yang sudah kita gambar? Semua itu hanya pendekatan saja. Gambar 2.3.6.2 Perkiraan garis lurus yang dapat dibuat Semua cara untuk menggambarkan garis yang paling cocok dengan titik-titik yang diketahui hanyalah perkiraan. Seberapa besar kesalahan yang dilakukan tidak diperhitungkan. Oleh karena itu diperlukan cara untuk menentukan persamaan garis lurus terbaik
38 sehingga kesalahannya terhadap titik-titik berdasarkan percobaan paling kecil(minimum) Metoda Kuadrat Terkecil (Method of Least Squares) adalah salah satu cara untuk menentukan persamaan garis lurus terbaik ( yang paling cocok) yang sepenuhnya berdasar perhitungan harga ekstrim terhadap seperangkat data. Bentuk persamaan garis lurus yang kita pilih adalah = + Persamaan garis ini akan kita cocokkan dengan sekumpulan titik ( 1, 1), ( 2, 2) …… ( , ) Ambil sebuah titik salah satu dari data misalnya ( , ). = = +
39 ℎ dan = − − → 2 = ( − − )2 Jika jumlah kuadrat kita sebut dengan maka: ( , ) =∑ ( − − )2 =1 Sampai sini fungsinya sudah diperoleh yaitu ( , ) =∑ ( − − )2 =1 → ? ℎ ℎ . Agar minimum , maka: =0 dan = 0 =−2∑ ( − − ) = =1 0→ ∑ − − ∑ =1 + ∑ = =∑ = (i) =−2∑ ( − − ) = 0 =1 → ∑ ( − − ) = 0 =1 ∑ − ∑ =1 − ∑ =1 2 =1 =0→ ∑ = + ∑ =∑ = = (ii) + ∑ =1 = ∑ =1 (i) ∑ =1 + ∑ 2=∑ =1 =1 (ii)
40 Dari persamaan normal ini harga Contoh 1: Terapkanlah metode kuadart terkecil untuk menentukan persamaan garis lurus yang paling cocok dengan data berikut: X -2,4 -0,8 0,3 1,9 3,2 Y -5,0 1,5 2,5 6,4 11 Tabel 2.3.6.1 persamaan normal Persamaan normalnya menjadi: 5 + 2,2 = 13,4 2,2 + 34,20 = 61,31 Akan diperoleh = 1,421 & 2,861 Sehingga Persamaan garis lurus terbaik untuk data diatas adalah = 1,42 + 2,86
41 Pengujian umur ketahanan suatu alat jika dipakai dalam berbagai kelajuan memberikan hasil sebagai berikut: Kelajuan V[m/mnt} 120 130 170 200 Umur T[menit] 62 25 7,2 2,8 Jika hukum yang menghubungkan dengan ℎ = . Tentukan & = ; persamaan ini harus diubah sehingga bentuknya sejenis dengan bentuk: = + . Agar berbentuk seperti itu maka diubah menjadi = + = + Jadi sebagai ; , dan
42 Tabel 2.3.6.2. persamaan normal Dari tabel diatas diperoleh persamaan normal: 4 + 10,3497 = 20,0891 10,3497 + 32,3515 = 51,0202 =� 20,0891 10,3497 51,0202 32,3515 � � 4 10,3497 10,3497 32,3515 �=5,4675 = 236,87 =� 4 20,0891 10,3497 51,0202 � � 4 10,3497 10,3497 32,3515 �=-0,1721 Hukum yang menghubungkan : = 236,87 −0,172
43 2.3.7. Soal Latihan: Metode kuadrat terkecil 1.Dengan menggambarkan grafiknya yang sesuai , tunjukkanlah bahwa & dalam daftar dibawah ini dihubungkan oleh hukum yang berbentuk: = √ + dengan & : . Tentukan & − ℎ 7,0 10 15 24 40 60 9,76 11 12,8 15,4 18,9 22,4 2. = + 2 Gunakan lah metode kudrat terkecil untuk menentukan & berdasarkan data berikut ini: 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1,5 5,78 2,26 1,60 1,27 1,53 1,10 3.Dua Besaran & , dihubungkan oleh hukum: = 1− 2 dengan & ∶ . Dengan menggunakan data dibawah ini gambarkan grafiknya yang sesuai serta tentukan harga & 4 6 8 10 11 12 4,89 5,49 6,62 9,00 11,4 16,1
44 4. Arus miliampere, pada suatu rangkaian listrik diuur untuk berbagai tegangan , yang diberikan.Jikahukumyangmenghubungkan berbentuk: = Tentukan & yang memberikan pencocokan terbaik bagi data berikut: 8 12 15 20 28 36 41,1 55,6 65,8 81,6 105 127 5. = + dengan & : . Carilah & gambarkan grafiknya yang paling sesuai dengan data berikut ini: 10,4 32,0 62,8 95,7 136 186 8,14 12,8 16,3 19,2 22,1 25,3 2.4. Differensial Fungsi dengan 2 variabel bebas atau lebih Untuk mendifferensialka fungsi dengan 2 variabel bebas atau lebih. Contoh: Volume tabung: = ( , ℎ) = 2ℎ Volume Kerucut: = ( , ℎ) =1 3 2ℎ Bagaimana mendifferensialkan fungsi seperti ini = ( , ℎ) = 2ℎ (ℎ )= ℎ(2 ) = 2 ℎ
45 (ℎ ) ditulis dengan Jadi =2 ℎ ℎ ( )= 2(1) = 2 ℎ ( )= 2(1) = 2 ℎ ( ) ditulis ℎ ℎ = 2 Contoh-contoh 1. ( , ℎ) = 3 + 3 2ℎ2 +ℎ3 = 3 2 + (3ℎ2)2 + 0 konstan karena ℎ3 konstan ℎ = 0 + (3 2)2ℎ+ 3ℎ2 Karena: 3konstan konstan Contoh 2: = ( , ) = 2 −4 3+3 2 3
46 . suku 1: konstannya l : differensialnya 2p Suku ke 2: konstan nya −4 3 : d fferensial dari p adalah 1 Suku ke 3: konstan nya 3 3 : differensial dari 2 adalah 2 Jadi = . 2 −4 3. 1 + 3 3 2p =.2 −4 3+ 6 3 Contoh 3 = ( , ) = 3 −4 2 2 + 3 3 = 3 2 −4 2. 2 + 0 konstan ditulis didepan Konstan diturunkan 0 Sekarang kita differensialkan terhadap … = 0−4 22 + 6 =−8 2 + 6 3konstan konstan ditulis didepan Contoh berikutnya: = ( , ) = sin(3 + 2 )
47 = (3 + 2 ). (3 + 0) = 3 (3 + 2 ) = (3 + 2 )(0 + 2) = 2 (3 + 2 ) Sekarang kita differensialkan sekali lagi terhadap . ℎ 2 2 = 3. �− (3 + 2 )�.3 =−9 (3 + 2 ) � �= 2 = 3. �− (3 + 2 )�. 2 =−6 (3 + 2 ) � ∂ Z ∂y� = ∂2Z ∂x∂y =−2. �sin(3x + 2y)�. 3 =−6sin(3x + 2y) ∂ ∂ y� ∂ Z ∂y� =∂2Z ∂y2 =−2. �sin(3x + 2y)�. 2 =−4sin(3x + 2y) 2.4.1. Latihan soal 1. Differensialkan terhadap variabel bebasnya (differensial pertama saja) a. = ( , ) = tan (2 2+5 2) b. = ( , ) = (3 + 2 ) c. = ( , ) =sin ( 3 −2
48 2. Differensialkan ke variabel bebasnya hingga differensial kedua a. = ( , ) = (2 +3 ) b. = ( , ) = − 2.4.2. Aplikasi Differensial Parsial Kita punya fungsi dengan 2 variabel bebas, misalnya Volume tabung. = ( , ℎ) = 2ℎ = 2 ℎ dan ℎ = 2 Sekarang kita belajar hal baru yaitu nilai perubahan (kenaikan) Jika berubah dari 1 menjadi 2maka besarnya perubahan ditulis ∆ = 2 − 1 Contoh: Suhu ruangan ini sekarang 210 Nanti siang suhu setelah diukur 300C Dalam hal ini bisa kita tulis 1 = 210 Dan 2 = 300 sehingga ∆ = 2 − 1 =
49 300 −210 = 90C Kesimpulan: suhu ruangan naik 90 Suhu ruangan siang ini 300 Nanti sore suhu ruangan setelah diukur 230C Dalam hal ini bisa kita tulis 1 = 300 Dan 2 = 230 sehingga ∆ = 2 − 1 = 230 −300 =−70C Kesimpulan: suhu ruangan turun 70 Perhatikan bahwa: ∆ + − Kembali kemasalah volume tabung = ( , ℎ) = 2ℎ Jika radius tabung berubah dari 1 2 maka ∆ = 2 − 1 → 2 = 1 +∆ Jika tinggi tabung berubah dari ℎ1 ℎ2 maka ∆ℎ =ℎ2 − ℎ1 → ℎ2 =ℎ1 +∆ℎ Volume tabung jelas akan berubah dari 1 2. Besarnya perubahan V adalah∆ = 2 − 1 2 = 1 +∆ 2 = 2 2 ℎ2 1 +∆ = ( 1 +∆ )2(ℎ1 +∆ℎ) 1 2 ℎ1 +∆ = ( 1 2+ 2 1∆ +∆ 2)(ℎ1 +∆ℎ)
50 1 2 ℎ1 +∆ = 1 2 ℎ1+ 1 2 ∆ℎ+ 2 1ℎ1∆ + 2 1∆ℎ∆ + ℎ 1∆ 2+ ∆ 2∆ℎ ∆ = 1 2 ∆ℎ+ 2 1ℎ1∆ + 2 1∆ℎ∆ + ℎ1∆ 2+ ∆ 2∆ℎ Kecil dan dapat diabaikan ∆ = 1 2 ∆ℎ+ 2 1ℎ1∆ ℎ Sehingga ∆ = ℎ ∆ℎ+ ∆ Jika = ( , ) ∆ = ∆ + ∆ Jika = ( , , ) ∆ = ∆ + ∆ + ∆ Contoh: 1. Silinder ukuran r =5 cm dan h=10 cm. Tentukanlah besarnya perubahan Volume tabung jika jari-jari bertambah 0,2 cm dan tinggi berkurang 0,1 cm. Penyelesaian: = ( , ℎ) = 2ℎ
51 ℎ = 2 =2 ℎ = 5 , ℎ = 10 ∆ = +0,2 ∆ℎ =−0,1 ∆ = ∆ + ℎ ∆ℎ= 2∆ + 2 ℎ∆ℎ ∆ = 17,5 3 Volume tabung naik 17,5 3 2. = dengan = 250[ 0 ], = 50[ ].Tentukan besarnya perubahan jika bertambah 1 ] dan dan bertambah 0,5[ ℎ ] = ( , ) = maka ∆ = ∆ + ∆ = 1 & =− 2 ∆ = 1 ∆ − 2 ∆ = 5 1 0(1) −2 2 5 5 0 0 0(0,5)=-0,03 Kesimpulan turun sebesar 0,03 ampere 2.4.3. Latihan soal 1.Jika = ( , , ) = 3 4 Tentukanlah besarnya perubahan Y jika ℎ 2%, 3% ℎ 1% 2. Daya yang disimpan dalam suatu resistor diberikan oleh
52 Hubungan = 2 . Jika E=200 [Volt} dan R=8[ohm] Tentukanlah besarnya perubahan yang terjadi akibat penurunan sebesar 5[Volt] dan kenaikan 0,2[ ℎ ]
53 BAB 3 Anti differensial Karena integral operasi kebalikan dari differensial, maka untuk memahami konsep integral diperlukan jembatan untuk memudahkan. Jembatan itu adalah anti differensial Jadi anti differensial dipelajari untuk memudahkan operasi hitung integral 3.1 Anti differensial adalah operasi kebalikan dari differensial. Artinya jika pada differensial fungsi asalnya diketahui, tetapi Anti differensial justru fungsinya yang harus dicari 3.2 Anti Differensial Fungsi Aljabar Differensial: Diketahui = ( ) → =⋯…… . ? ? Anti Differensial: Diketahui = ′( ) → =? ? ? ? Contoh: Differensial: Y= 3 → = 3 2 Anti differensial: = 3 2 → =2+ 3 1 2+1 = 3
54 Kita tulis dengan 3 2 = 3 2 =2+ 3 1 2+1 = 3 Bagaimana memeriksanya bahwa jawaban itu benar? Lihat contoh: Ax3x2 = 3Axx2 = x3 ini kita differensialkan sama 3 2 Bolehkah hasilnya kita +8? 3 2 = 3 2 = 3 + 8 Jawabnya boleh sebab differensialnya tetap. Jadi 3 2 = 3 2 = 3 + Teorema 1: = + + + ; ≠ − Contoh Ax√x = Axx1 2 = 1 2 + 1 1 x1 2 +1+ C = 2 3 x3 2 + C = 3 2 x√x + c Teorema 2: (i) ( ) = ( ) (ii) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) (iii) ( ) + ( ) = ( ) + ( )
55 Kembali ke differensial: = ( 2 + 5)3 → = 3. ( 2 + 5)2. 2 = 6 ( 2 + 5)2 Anti differensialnya: d d y x = 6x(x 2 + 5)2 →y =? ? ? ? ? ? y = Ax3. (x2 + 5)2. 2x = 3Ax(x2 + 5)2. 2x = 2 + 3 1 (x2 + 5)2+1 + c = (x2 + 5)3 + c Bentuk Umumnya adalah: = + + + Teorema 3: Contoh 1 ( + ) = ( + ) . = ( + ) + = + + + = ( + ) + Contoh 2 ( + ) = ( + ) . = ( + ) + = + + + ; ≠ −
56 Contoh 3 (3 2 + 4)( 3 + 4 )3 = 1 4 ( 3 + 4 )3 + 3.3. Anti Differensial Fungsi Transenden 3.3.1. Anti differensial Fungsi logaritma = , = ( ) → = 1 Kebalikannya: = 1 → Teorema 4 Ax 6x2 2x3 + 5 = ln (2x3 + 5) + c AXsec2 tan3 3 x x = 1 3 Ax 3sec2 tan3 3 x x + c Ax 1 2 s c in os2x 22xDxu = ln sin22x + c →→betulkah demikian? Mari kita lihat Jika = 22 → = 2 2 2 = 4 . Jika = 2 → 1 = = +
57 Bentuk diatas adalah = + 1 1 +1 + 1 2 ( 2 )−2. 2. 2 = 1 2 ( 1 −2 + 1 −2+1) + = -2 1 2 + atau −1 2 2 + 3.3.2.Anti differensial funsi eksponen dengan basis e = , = ( ) → = Kebalikannya: = + Teorema 5: Contoh 1 3 3 +4 = 1 3 3 +4 + Contoh2: √2 +5 √2 + 5 = √2 +5 + = +
58 3.3.3. Anti Differensial fungsi eksponen dengan basis a = , = ( ), > 0, ≠1 → = . Kebalikannya = . → = . = 1 + Teorema 6 Contoh 1. 75 −4. 5 = 1 7 75 −5 + 2. 2 . = 1 22 + 3.3.4. Anti differensial Fungsi trigonometri 1. = , = ( ) → = . Kebalikannya: = . → = . = + Axau. Dxu = ln 1 a au + c = +
RkJQdWJsaXNoZXIy MTM3NDc5MQ==